1、专题六数列【真题探秘】6.1数列的概念及表示探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的概念及表示方法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数2018课标,14,5分由an与Sn的关系求数列的通项公式等比数列的通项公式2015课标,16,5分由an与Sn的关系求数列的通项公式等差数列的通项公式分析解读在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an或利用递推公式构造等差或等比数列求通项an.能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质,如单调性、周期性等,并能利用性质解题.本节内容多出现在选择
2、题、解答题中,分值约为 5分或12 分,属中档题.破考点 练考向【考点集训】考点数列的概念及表示方法1.(2019河南重点中学联盟“领军考试”,6)已知数列an的前4项为-12,34,-58,716,则数列an的通项公式是()A.an=2n-12nB.an=(-1)n(2n-1)2nC.an=2n+12nD.an=(-1)n(2n+1)2n答案B2.(2020届甘肃顶级名校第一阶段考试,9)已知数列an的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sm+n(m,nN*),且a1=5,则a8=()A.40B.35C.5D.12答案C3.(2019山西太原模拟(一),9)已知数列an的前n项和Sn满足Sn+an=
3、2n(nN*),则a7=()A.73B.12764C.32132D.38564答案B4.(2019广东汕头一模,15)已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3(nN*),则S10=.答案363炼技法 提能力【方法集训】方法1利用Sn与an的关系求通项公式1.(2018安徽合肥一模,8)已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018=()A.22018-1B.32018-6C.122018-72D.132018-103答案A2.已知数列an满足a1+2a2+3a3+4a4+nan=3n2-2n+1,求an.解析设a1+2a2+3a
4、3+4a4+nan=Tn.当n=1时,a1=T1=312-21+1=2;当n2时,nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5,因此an=6n-5n,显然当n=1时,不满足上式.故数列an的通项公式为an=2,n=1,6n-5n,n2.方法2由递推关系求数列的通项公式1.(2019第一次(3月)全国大联考,15)在数列an中,已知a1=1,an+1n+1=2ann+1(nN*),则使得ak378成立的正整数k的最小值为.答案72.已知数列an满足a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1(n2,nN*),则a3a1=,数列an的通项公式为.答案16;a
5、n=4n(n+1)(nN*)方法3数列的单调性和最大(小)项1.(2019安徽江淮十校第三次联考,4)已知数列an满足an+1-ann=2,a1=20,则ann的最小值为()A.45B.45-1C.8D.9答案C2.(2019河北衡水中学一调,15)已知数列an的前n项和Sn=2n-1,n4,-n2+(m-1)n,n5.若a5是an中的最大值,则实数m的取值范围是.答案535,+【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点数列的概念及表示方法1.(2018课标,14,5分)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.答案-632.(2015课标,16,5分)设Sn是数列an的前n项和,
6、且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案-1nB组自主命题省(区、市)卷题组考点数列的概念及表示方法1.(2019上海,8,5分)已知数列an前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=.答案31162.(2016浙江,13,6分)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.答案1;121C组教师专用题组考点数列的概念及表示方法1.(2015江苏,11,5分)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列1an前10项的和为.答案20112.(2013课标,14,5分)若数列an的前n项和Sn=23an+13,则an
7、的通项公式是an=.答案(-2)n-13.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列1an的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|11000成立的n的最小值.解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数
8、列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n,所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.由|Tn-1|11000,得1-12n-11000.因为29=51210001024=210,所以n10.于是,使|Tn-1|0.由0an12得anan+1=anan-an2=11-an1,2,即1anan+12.(2)由题意得an2=an-an+1,所以anan+1=1an+1-1an,Sn=a1-an+1.由anan+1=1an+1-1an和1anan+12得11an+1-1an2,所以n1an+1-1a12n,因此12(n+1)an+11n+2(nN*).由得12(n+2
9、)Snn12(n+1)(nN*).【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2020届宁夏银川一中第二次月考,10)已知数列an满足an+1=an+2n,a1=1,则a15=()A.111B.211C.311D.411答案B2.(2020届福建厦门双十中学开学考试,6)已知数列an满足a1=2,an+1=an-1an+1(nN*),则a30=()A.2B.13C.-12D.-3答案B3.(2020届湖南长沙一中第二次月考,10)已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64答案D4.(20
10、19湖南邵东创新实验学校第五次月考,11)已知数列an的通项为an=2n+3(nN*),数列bn的前n项和为Sn=3n2+7n2(nN*),若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列cn,则满足cn2012的n的最大整数值为()A.338B.337C.336D.335答案D5.(2019广东广州天河毕业班综合测试(一),11)数列an满足a1=1,对任意nN*,都有an+1=1+an+n,则1a1+1a2+1a99=()A.9998B.2C.9950D.99100答案C6.(2020届九师联盟10月质量检测,10)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2Sn-1+1(n2,且nN*)且S2=3,则
11、S5a5=()A.6332B.3116C.12364D.127128答案B二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019广东湛江二模,14)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为a,当a2,2019时,符合条件的a共有个.答案1358.(2020届甘肃顶级名校第一阶段考试,16)已知数列an的前n项和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2-n-3(5-)an对nN+恒成立,则整数的最大值为.答案4
12、三、解答题(共25分)9.(2020届江西宜春重点高中第一次月考,20)已知数列an满足12an+1-an=0(nN*),且a2,a3+2,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=11-an-11-an+1(nN*),数列bn的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.解析(1)由12an+1-an=0知an+1an=2(nN*),数列an是等比数列,且公比为2.a2,a3+2,a4成等差数列,2(a3+2)=a2+a4,2(4a1+2)=2a1+8a1,a1=2,an=2n.(2)Tn=11-a1-11-a2+11-a2-11-a3+11-an-11-an+1=11-a1-11-a
13、n+1=-1-11-2n+1=12n+1-1-1,易知Tn单调递减,TnT1=-23,又当n+时,Tn-1,Tn的取值范围为-1,-23.10.(2020届天一大联考,20)记数列an的前n项和为Sn,已知a1=-3,2SnSn-1+3Sn-1=3Sn(n2).(1)求数列an的通项公式;(2)求使an120成立的n的最大值.解析本题考查数列的前n项和与通项的关系、数列的递推公式,考查推理论证能力以及化归转化思想.(1)当n2时,若Sn=0,则由2SnSn-1+3Sn-1=3Sn,得Sn-1=0,这与a1=S1=-3相矛盾,所以Sn0.(1分)由2SnSn-1+3Sn-1=3Sn,等式两边同除以SnSn-1并整理,得1Sn-1Sn-1=-23,所以数列1Sn是首项为1S1=-13,公差d=-23的等差数列,所以Sn=-32n-1,(4分)所以当n2时,an=Sn-Sn-1=-32n-1+32n-3=6(2n-1)(2n-3).(6分)又因为a1=-3不符合上式,所以an=-3,n=1,6(2n-1)(2n-3),n2.(8分)(2)由(1)知an=-3,n=1,6(2n-1)(2n-3),n2.易知n=1不符合题意,所以由题意,得an=6(2n-1)(2n-3)120,整理得4n2-8n+3120,(10分)所以2n6.5,所以使an120成立的n的最大值为6.(12分)
