1、第十二章 系列4选讲12.1坐标系【考试要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程【知识梳理】1伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立
2、了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的极径，称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系特别地，极点O的坐标为(0，)(R)(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：或这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2r
3、cos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin_a(00)与圆2cos 相切，则a_.答案1解析由可将直线cos sin a化为xya0，将2cos ，即22cos 化为x2y22x，整理成标准方程为(x1)2y21.又直线与圆相切，圆心(1,0)到直线xya0的距离d1，解得a1，a0，a1.题型一极坐标与直角坐标的互化例1(1)极坐标方程2cos 0转化成直角坐标方程为()Ax2y20或y1 Bx1Cx2y20或x1 Dy1答案C解析2cos 00或cos 1，即x2y20或x1.(2
4、)点M的直角坐标是(1，)，则点M的极坐标为()A. B.C. D.(kZ)答案C解析2，tan .又点M在第二象限，点M的极坐标为.【备选】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：sin，C2：2.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)曲线C1，C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标解(1)由sin，得，将代入上式得xy1，即C1的直角坐标方程为xy10，同理，由2，可得3x2y21，C2的直角坐标方程为3x2y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2(1x)21，即x2x10，则MN的中点坐标为，由弦长公式
5、，可得|MN|x1x2|.以MN为直径的圆为222.令x0，得2，即2，y0或y3，以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为(0,0)或(0,3)思维升华(1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将xcos 及ysin 直接代入并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，再进行整体代换其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边同时平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验跟踪训练1已知曲线C1的方程为(x1)2y21，C2的方程为xy3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线(1)以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极
6、轴建立极坐标系，求C1与C2的极坐标方程；(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O)，C2与C3的一个公共点为B，当|OA|时，求C3的直角坐标方程解(1)曲线C1的方程为(x1)2y21，整理得x2y22x0，转换为极坐标方程为2cos .曲线C2的方程为xy3，转换为极坐标方程为cos sin 30.(2)因为曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线，则极坐标方程为，由于C1与C3的一个公共点为A(异于点O)，故所以|OA|2cos ，C2与C3的一个公共点为B，所以所以|OB|.由于|OA|，所以2cos cos sin ，即3cos sin ，cos sin 1，当sin ，cos
7、 时，tan ，故曲线C3的直角坐标方程为yx.题型二求曲线的极坐标方程例2(2022梧州模拟)在极坐标系中，已知三点A(2,0)，B，C.(1)若A，B，C三点共线，求的值；(2)求过O，A，B三点的圆的极坐标方程(O为极点)解以极点为坐标原点，以极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy，(1)因为A，B两点的极坐标分别为A(2,0)，B，所以其直角坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，即直线AB的方程为yx2，因为C点的极坐标为C，所以其直角坐标为C，代入直线AB的方程，可得2，解得2.(2)因为OAOB，所以AB的中点(1，1)即为圆心，半径r，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22
8、，即x2y22x2y0，因为x2y22，xcos ，ysin ，所以圆的极坐标方程为22cos 2sin 0，即2cos 2sin .【备选】已知曲线C1的直角坐标方程为x2y28x10y160，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的直角坐标方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|O
9、P|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点，连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.题型三极坐标方程的应用例3(2018全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xc
10、os ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的
11、距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.【备选】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题意知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2
12、y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2，所以OAB面积的最大值为2.思维升华极坐标方程及其应用的解题策略(1)求点到直线的距离先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解(2)求线段的长度先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度跟踪训练3 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
13、的极坐标方程为2.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离解(1)由2，得232sin216，则曲线C的直角坐标方程为x24y216，即1.直线l的直角坐标方程为xy90.(2)可知曲线C的参数方程为(为参数)，设P(4cos ，2sin )，0,2)，则M(2cos ，sin )到直线l：xy90的距离为d，所以线段OP的中点M到直线l的最大距离为.课时精练1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1(02)，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的
14、极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解(1)由cos1得1.从而曲线C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)2在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为，半径r，点P的极坐标为(2，)，过P作直线l交圆C于A，B两点(1)求圆C的直角坐标方程；(2)求|PA|PB|的值解(1)圆C的圆心的极坐标为，ysin 1，xcos 1，即圆心的直角坐标为(1,1)，圆C的直角坐
15、标方程为(x1)2(y1)22.(2)点P的极坐标为(2，)，化为直角坐标为P(2,0)当直线l与圆C相切于点D时，则|PD|2|PC|2r2(21)2(01)2()28，由切割线定理得|PA|PB|PD|28.3(2022洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x2)2(y2)21，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解(1)曲线C1的方程为(x2)2(y2)21，整理得x2y24x4y70，转换为极坐标方程为24cos 4sin 70.由于直线C2过原点，
16、且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，.4(2019全国)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos ，所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)
17、知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.5(2022鹰潭模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x)2(y1)24.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2，C3的极坐标方程分别为2sin ，2cos.(1)若曲线C2，C3相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标；(2)若直线l：(R)与C1，C2相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值解(1)由2sin ，得22sin ，将代入，可得C2的直角坐标方程为x2y22y；由2cos2cos cos 2sin sin cos sin ，得2cos sin ，将代入，可得C3的直角坐标方程为x2y2xy.联立解得或所以点Q的直角坐标为.(2)由(x)2(y1)24，可得x2y22x2y0，将代入，可得C1的极坐标方程为22cos 2sin 0，则2cos 2sin .设A(A，)，B(B，)，则A2cos 2sin ，B2sin ，所以|AB|BA|4sin 2cos |22|sin()|，因为|sin()|1，所以|AB|2|sin()|2.故|AB|的最大值为2.
