1、课时规范练24平面向量的概念及线性运算课时规范练B册第14页基础巩固组1.(2019山东淄川中学期中)下列说法错误的是() A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等答案B解析零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A与C都是对的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B错;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D对,故选B.2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
2、a|a|+b|b|=0成立的是()A.abB.abC.a=2bD.a=-b答案D解析由a|a|+b|b|=0,得a|a|=-b|b|,即b=-|b|a|a,则向量a,b共线且方向相反,故选D.3.(2019四川雅安中学月考)如图所示,在正ABC中,D,E,F均为所在边的中点,则以下向量和ED相等的是()A.EFB.BEC.FBD.FC答案D解析因EF,BE,FB与向量ED方向不同,所以这三个向量与向量ED不相等,而向量FC与ED方向相同长度相等,故选D.4.已知向量a与b不共线,AB=a+mb,AC=na+b(m,nR),则AB与AC共线的条件是()A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0
3、D.mn-1=0答案D解析由AB=a+mb,AC=na+b(m,nR)共线,得a+mb=(na+b)=na+b,向量a与b不共线,1=n,m=,即mn-1=0,故选D.5.(2019四川名校联盟信息卷)在平行四边形ABCD中,AB=a,AC=b,若E是DC的中点,则BE=()A.12a-bB.32a-bC.-12a+bD.-32a+b答案D解析如图所示,BE=BC+CE=AC-AB+CE=b-a-12a=-32a+b,故选D.6.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案B解析BC=a+b,CD=
4、a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,AB,BD共线.设AB=BD,则2a+pb=(2a-b).即2=2,p=-.解得=1,p=-1.7.(2019重庆北碚期末)下列命题中,正确的个数是()单位向量都相等;模相等的两个平行向量是相等向量;若a,b满足|a|b|且a与b同向,则ab;若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;若ab,bc,则ac.A.0个B.1个C.2个D.3个答案A解析单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故错误;模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故错误;向量是有方向的量,不能比较大小,故错误;向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起
5、点和终点不一定相同,故错误;b=0时,ab,bc,则a与c不一定平行.综上,以上正确的命题个数是0,故选A.8.(2019云南云天化中学期中)已知O是四边形ABCD所在平面上任一点,ABCD且|OA-OB|=|OC-OD|,则四边形ABCD一定为()A.菱形B.任意四边形C.平行四边形D.矩形答案C解析由|OA-OB|=|OC-OD|,可得|BA|=|DC|,即四边形中|AB|=|CD|.又由ABCD,所以ABCD,即四边形ABCD中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形,故选C.9.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC
6、(1,2为实数),则1+2的值为.答案12解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC,DE=1AB+2AC,1=-16,2=23,因此1+2=12.10.设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(1)证明AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线.又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)解ka+b与a+kb共线
7、,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb,(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0.k2-1=0,k=1.综合提升组11.(2019江西南昌期末)下列结论正确的是()A.若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同B.ABC中,D是BC中点,则AD=12(AB+AC)C.向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上D.若ab,则存在R,使a=b答案B解析A选项,若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同或相反,故A错误;B选项,ABC中,D是BC中点,AB+AC=2AD,则AD=12(AB+AC),故B正确;C选项,向量AB与向量C
8、D是共线向量,但线段AB与CD可以是平行线段,故C错误;D选项,b=0时,满足ab,但不一定存在R,使a=b,故D错误.故选B.12.(2019河南八市联考二,6)在等腰梯形ABCD中,AB=2DC,点E是线段BC的中点,若AE=AB+AD,则+=()A.52B.54C.12D.14答案B解析(方法一)取AB的中点F,连CF,则四边形AFCD是平行四边形,所以CFAD,且CF=AD.因为AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(FC-FB)=AB+12AD-12AB=34AB+12AD,=34,=12,+=54,故选B.(方法二)连接AC,AE=12(AB+AC)=12AB+12(AD+D
9、C)=12AB+12(AD+12AB)=34AB+12AD,=34,=12,+=54,故选B.13.(2019湖南长郡中学期中)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=AB+BC,其中,R,则+=.答案23解析由题意,得AD=AB+BD=AB+13BC,则2AO=AB+13BC,即AO=12AB+16BC.故+=12+16=23.14.已知D为ABC边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=PD,则实数的值为.答案-2解析因为D是BC的中点,则AB+AC=2AD.由PA+BP+CP=0,得BA=PC.又AP=PD,所以点P是以AB,AC
10、为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此AP=AB+AC=2AD=-2PD,所以=-2.创新应用组15.(2019北京昌平二模)设a,b是非零向量,则“存在实数,使得a=b”是“|a+b|=|a|+|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析存在实数,使得a=b,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以,充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,存在实数,使得a=b成立,必要性成立,即“存在实数,使得a=b”是“|a+b|=|a|+|b|”
11、的必要不充分条件,故选B.16.(2019江西上饶六校联考)过ABC的重心G作直线l,已知l与AB、AC的交点分别为M,N,SABCSAMN=209,若AM=AB,则实数的值为()A.23或25B.34或35C.34或25D.23或35答案B解析设AN=xAC,因为G为ABC的重心,所以AB+AC=3AG,即13AM+13xAN=AG.由于M,N,G三点共线,所以13+13x=1,即x=3-1.因为SABCSAMN=209,SABC=12|AB|AC|sin A,SAMN=12|AM|AN|sin A,所以|AB|AC|AM|AN|=|AB|AC|x|AB|AC|=1x=209,即有2023-1=9,解之,得=34或35,故选B.17.(2019四川宜宾二模)在平行四边形ABCD中,M是DC的中点,向量DN=2NB,设AB=a,AD=b,则MN=.答案16a-23b解析根据题意画图如下.则DM=12DC=12AB=12a,DN=23DB=23(AB-AD)=23AB-23AD=23a-23b,MN=DN-DM=23a-23b-12a=16a-23b.