1、2015-2016学年陕西科大附中高三（上）第五次模考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1复数（3i1）i的虚部是（）A1B3C3D12“x1”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要3若f（x）=x22x4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A（1，0）B（1，0）（2，+）C（2，+）D（0，+）4如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A4BC2D25等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于（）A6B5C4D36如图是一个算法框图，则输出的k的值是
2、（）A3B4C5D67设函数，则y=f（x）的图象大致是（）ABCD8如图，直线y=x2与圆x2+y24x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A13B14C15D169已知0，0，直线x=和x=是函数f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则=（）ABCD10在平面直角坐标系中，A（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是（）A4B3C2D111已知a，b是正数，且满足2a+2b4那么a2+b2的取值范围是（）A（，）B（，16）C（1，16）D（，4）12函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A3B4C5
3、D无数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1，第二组含两个数3，5，第三组含三个数7，9，11，第四组含四个数13，15，17，19，现观察猜想每组内各数之和为an与其组的编号数n的关系为14函数y=loga（x+3）1（a1，a0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则+的最小值为15从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概是16若命题“xR，x22x+m0”是假命题，则m的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算
4、步骤或证明过程）17已知f（x）=（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，B=，求b的值18直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=（1）求证：平面AB1C平面B1CB； （2）求三棱锥A1AB1C的体积19某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如下：得到的频率分布表如下：分数段（分）50，7070，9090，110110，130130，150合计频数b频率a（）表中a，b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分
5、数在90，150范围为及格）；（）从大于等于100分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率20已知两点M（1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足（1）求动点P的轨迹方程；（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+（y2）2=4的位置关系21已知f（x）=ln（x+1），（1）若a=0，b=1时，求证：f（x）g（x）0对于x（1，+）恒成立；（2）若b=2，且h（x）=f（x1）g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作
6、答时请写清题号（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（）ACE=BCD（）BC2=BECD选修4-4：极坐标与参数方程23已知直线l经过点P（1，1），倾斜角=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积选修4-5：绝对值不等式24已知函数f（x）=|2xa|+a（1）若不等式f（x）6的解集为2，3，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）mf（n）成立，求实数m的取值范围2015-2016学年陕西科大附中高三（上）第五次模考数学试卷
7、（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1复数（3i1）i的虚部是（）A1B3C3D1【考点】复数的基本概念【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可【解答】解：复数（3i1）i=3i复数的虚部为：1故选：D2“x1”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】x210x1或x1即可判断出结论【解答】解： x210x1或x1“x1”是“”充分不必要条件故选：A3若f（x）=x22x4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A（1，0）B（1，0）（2，+）C（2，+）D（0
8、，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间【解答】解：函数的定义域为（0，+）求导函数可得：f（x）=2x2，令f（x）0，可得2x20，x2x20，x1或x2x0，x2f（x）的单调递增区间为（2，+）故选C4如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A4BC2D2【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据题意，直接按三视图的要求，画出左视图，依据数据求出面积【解答】解：左视图为矩形，如图，故其面积为故选C5等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于（
9、）A6B5C4D3【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：数列an是等比数列，a4=2，a5=5，a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=4lg10=4故选：C6如图是一个算法框图，则输出的k的值是（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】算法的功能是求满足不等式k25k+40最小正整数解，通过解不等式求得输出的k值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足不等式k25k+40最小正整数解，k25k+40k4或k1，输出k=5故选：C7
10、设函数，则y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数定义域，单调性进行判断【解答】解：y=f（x）=+1，函数的定义域为0，+），且在定义域上单调递减，故选B8如图，直线y=x2与圆x2+y24x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A13B14C15D16【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆的方程为（x2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，联立直线y=x2与y2=8x可得x212x+4=0，由此能够推导出|AB|+|CD|=162=14【解答】
11、解：由x2+y24x+3=0，得（x2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，联立直线y=x2与y2=8x，可得x212x+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=12，则有|AD|=（x1+x2）+4=16，故|AB|+|CD|=162=14故选：B9已知0，0，直线x=和x=是函数f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则=（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及的范围，确定的值即可【解答】解：因为直线x=和x=
12、是函数f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，所以T=2所以=1，并且sin（+）与sin（+）分别是最大值与最小值，0，所以=故选A10在平面直角坐标系中，A（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是（）A4B3C2D1【考点】向量的模；平行向量与共线向量【分析】由题意可知向量|=1的模是不变的，当与同向时|+|的最大， =【解答】解：由题意可知向量|=1的模是不变的，当与同向时|+|的最大，=3故选B11已知a，b是正数，且满足2a+2b4那么a2+b2的取值范围是（）A（，）B（，16）C（1，16）D（，4）【考点】简单线性规划的应用【分析】在aob坐标
13、系中，作出不等式表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD由坐标系内两点的距离公式可得z=a2+b2表示区域内某点到原点距离的平方，由此对图形加以观察可得a2+b2的上限与下限，即可得到本题答案【解答】解：以a为横坐标、b为纵坐标，在aob坐标系中作出不等式2a+2b4表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD内部，（不包括边界）其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）设P（a，b）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离z=a2+b2=|OP|2，可得当P与D重合时，P到原点距离最远，z=a2+b2=16可得当P点在直线BA上，且满足OPAB时，P到原点距离最近，等
14、于=z=a2+b2=综上所述，可得a2+b2的取值范围是（，16）故选：B12函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A3B4C5D无数【考点】奇偶函数图象的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（x）=f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解【解答】解：当x0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=cos，x0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg111，y=cos=1，x0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13有
15、一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1，第二组含两个数3，5，第三组含三个数7，9，11，第四组含四个数13，15，17，19，现观察猜想每组内各数之和为an与其组的编号数n的关系为【考点】归纳推理【分析】由题意先计算第一、二、三组内各数之和与其组的编号数的关系，再猜想【解答】解：由题意，1=13，3+5=23，7+9+11=33，故可得每组内各数之和与其组的编号数n的关系为n3，故答案为：14函数y=loga（x+3）1（a1，a0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m0，n0，则+的最小值为8【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数函数的
16、性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可【解答】解：x=2时，y=loga11=1，函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点（2，1）即A（2，1），点A在直线mx+ny+1=0上，2mn+1=0，即2m+n=1，m0，n0，+=（+）（2m+n）=2+24+2=8，当且仅当m=，n=时取等号故答案为：815从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出所取的3个球中没有白球的概，再用1减去它，即得所取的3个球中至少有1个白球的概率【解答】解：所有的取法共
17、有=10种，而没有白球的取法只有一种，故所取的3个球中没有白球的概率是，故所取的3个球中至少有1个白球的概是 1=，故答案为16若命题“xR，x22x+m0”是假命题，则m的取值范围是m1【考点】特称命题【分析】根据特称命题是假命题，则对应的全称命题是真命题，即可得到结论【解答】解：若命题“xR，x22x+m0”是假命题，则命题“xR，x22x+m0”是真命题，即判别式=44m0，解得m1，故答案为：m1三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知f（x）=（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=2，
18、a=，B=，求b的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】本题属于三角函数常规题型（1）利用三角函数公式对f（x）进行化简成f（x）=2sin（2x+），根据最小正周期公式T=；（2）根据f（A）=2，求出A=，根据正弦定理即可求出b；【解答】解：（1）由已知化简函数解析式： f（x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）所以，最小正周期T=（2）在ABC中，由f（A）=2知：2sin（2A+）=2A=+k，kZ因为A是三角形内角，所以A=；又B=，a=由正弦定理知：b=18直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=（1）求证：平面AB1C平面B1C
19、B； （2）求三棱锥A1AB1C的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）要证平面AB1C平面B1CB，根据面面垂直的判定定理，只要在平面平面AB1C内找一直线垂直平面B1CB，根据已知条件可证BB1AC，ACBC，从而可得（2）由（1）可知B1C1平面A1AC，故考虑利以B1为顶点求解体积，即利用进行求解【解答】解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，则BB1AB，BB1BC，又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=则由AC2+BC2=AB2可知，ACBC，又由上BB1底面ABC可知BB1AC，则AC平面B1CB，所以有平面AB1C平面
20、B1CB；（2）三棱锥A1AB1C的体积19某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如下：得到的频率分布表如下：分数段（分）50，7070，9090，110110，130130，150合计频数b频率a（）表中a，b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在90，150范围为及格）；（）从大于等于100分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图【分析】（）由茎叶图查出分数在50，70）及110，130）范围内的人数，则a，b的值可求
21、；（）查出大于等于100分的学生数，由组合知识得到选取2名学生的基本事件数，查出和大于等于260的情况数，然后直接由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（）由茎叶图可知分数在50，70）范围内的有2人，在110，130）范围内的有3人，a=0.1，b=3从茎叶图可知分数在90，150范围内的有13人，估计全校数学成绩及格率为=65%；（）设A表示事件“大于等于100分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于100分的有9人，记这9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选取学生的所有可能结果为种事件“2名学生的平均得分大于等于130分”，也就是“这两个
22、学生的分数之和大于等于260”，可能结果为：，共4种情况，基本事件数为4P（A）=20已知两点M（1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足（1）求动点P的轨迹方程；（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+（y2）2=4的位置关系【考点】抛物线的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）设P（x，y），由，得，由此化简能求出点P的轨迹C的方程（2）由题意得，圆的圆心坐标为（0，2），半径为2当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离；当m4时，写出直线AK的方程，圆心M（0，2）到直线AK的距离，
23、由此可判断直线AK与圆的位置关系【解答】解：（1）设P（x，y），则，由，得，化简得y2=4x所以动点P的轨迹方程为y2=4x（2）由点A（t，4）在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A（4，4）当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+（y2）2=4相离当m4时，直线AK的方程为，即4x+（m4）y4m=0，圆心（0，2）到直线AK的距离，令，解得m1；令，解得m=1；令，解得m1综上所述，当m1时，直线AK与圆x2+（y2）2=4相交；当m=1时，直线AK与圆x2+（y2）2=4相切；当m1时，直线AK与圆x2+（y2）2=4相离21已知f（x）=ln（x+1）
24、，（1）若a=0，b=1时，求证：f（x）g（x）0对于x（1，+）恒成立；（2）若b=2，且h（x）=f（x1）g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）令h（x）=f（x）g（x）=ln（x+1）x，求出h（x）的表达式，求出导数，求得h（x）的最大值即可得证；（2）求出导数，问题等价于h（x）=ax20在（0，+）有解，分离参数求出函数的最小值即可【解答】（1）证明：若a=0，b=1时，令h（x）=f（x）g（x）=ln（x+1）x，则h（x）=1=，当x0时，h（x）0，h（x）单调递减；当1x0时，h（x）0，
25、h（x）单调递增则x=0为极大值点，也为最大值点，故最大值为h（0）=0，故h（x）h（0）即有f（x）g（x）0对于x（1，+）成立（2）解：函数h（x）=lnxax22x的定义域为（0，+），且函数h（x）存在单调递减区间，h（x）=ax20在（0，+）有解，即ax22x+10在（0，+）有解，故a=（1）21在（0，+）有解，a1，故a的范围为（1，+）请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（）ACE=BCD（）BC2=BE
26、CD【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角【分析】（I）先根据题中条件：“”，得BCD=ABC再根据EC是圆的切线，得到ACE=ABC，从而即可得出结论（II）欲证BC2=BE x CD即证故只须证明BDCECB即可【解答】解：（）因为，所以BCD=ABC又因为EC与圆相切于点C，故ACE=ABC所以ACE=BCD（）因为ECB=CDB，EBC=BCD，所以BDCECB，故即BC2=BECD选修4-4：极坐标与参数方程23已知直线l经过点P（1，1），倾斜角=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积【考点】直线的参数方程；直线与
27、圆的位置关系；圆的参数方程【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解【解答】解：（1）直线的参数方程为，即（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=2，则点P到A，B两点的距离之积为2选修4-5：绝对值不等式24已知函数f（x）=|2xa|+a（1）若不等式f（x）6的解集为2，3，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）mf（n）成立，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）原不等式可化为|2xa|6a，解得a3x3再根据不等式f（x）6的解集为2，3，可得a3=2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n1|+|2n+1|+2m，将函数y=|2n1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围【解答】解：（1）原不等式可化为|2xa|6a，解得a3x3再根据不等式f（x）6的解集为2，3，可得a3=2，a=1（2）f（x）=|2x1|+1，f（n）mf（n），|2n1|+1m（|2n1|+1），|2n1|+|2n+1|+2m，y=|2n1|+|2n+1|+2=，ymin=4，由存在实数n，使得f（n）mf（n）成立，m4，即m的范围是4，+）2016年11月7日
