1、61幂函数新课程标准解读核心素养通过具体实例，结合yx，y，yx2，y，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数数学抽象、直观想象、逻辑推理研究下列3个问题：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付pw元，这里p是w的函数；如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数；如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度vt1 m/s，这里v是t的函数问题上述3个函数有什么共同的结构特征？知识点一幂函数的概念形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数如何判断一个函数是幂函数？提示：(1)x的系数为1；(2)x为自变量；(3)为常数1在函数y，y3x2，
2、yx22x，y1中，幂函数的个数为_解析：函数yx4为幂函数；函数y3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数yx22x不是yx(是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y1与yx01(x0)不相等，所以y1不是幂函数答案：12已知f(x)(m1)xm22m是幂函数，则m_解析：函数f(x)(m1)xm22m是幂函数，m11，即m2.答案：23(2021南京高一月考)幂函数yx的图象过点(2，)，则_解析：因为幂函数yx的图象过点(2，)，所以2，解得.答案：知识点二幂函数的图象与性质1五种常见幂函数的图象2幂函数yx的性质(1)当0时，yx具有以下两条性质：函数的图象都过点(0，0)和(
3、1，1)；在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间0，)上是增函数(2)当g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0，1)时，f(x)，.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又.(3)函数y1x为(0，)上的增函数，又1，11.又函数y2x在(0，)上是增函数，且1，11，.比较幂值大小的两种基本方法角度二幂函数性质的综合应用例4已知函数f(x)x(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值
4、范围解(1)m2mm(m1)，mN*，m与m1中必定有一个为偶数，该函数的定义域为0，)，由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增(2)该函数图象过点(2，)，2，m2m2，m1(mN*)由f(2a)f(a1)，得解得1af(a1)的实数a的取值范围为.解决幂函数的综合问题，应注意以下两点(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想跟踪训练1若(32m)(m1)，求实数m的取值范围解：因为yx在定义域0，)上是增函数，所以解得1m.故实数m的取值范围为.2已知幂函数f(x)x2m2m3，其中mx|2x2，xZ，满足：(
5、1)是区间(0，)上的增函数；(2)对任意的xR，都有f(x)f(x)0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x0，3时，f(x)的值域解：因为mx|2x0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图提示：(1)定义域：x|x0；(2)值域：(，22，)；(3)奇偶性：奇函数；(4)单调性：函数f(x)x(a0)在(， )和(，)上为增函数，在，0)和(0， 上为减函数证明：任取x1，x2(0， ，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为0x1x2，所以x1x20，0x1x21，所以10，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(0， 上为减函数任取x1，
6、x2(，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为x1x2a，所以0，所以f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)所以f(x)在(，)上为增函数同理，f(x)在(，)上为增函数，在(，0)上为减函数其图象如图所示迁移应用试探究函数f(x)x(a0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图解：(1)定义域：x|x0；(2)值域：R；(3)奇偶性：奇函数；(4)函数f(x)在区间(，0)，(0，)上单调递增证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)，因为0x1x2，所以x1x20，又a0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(
7、x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增；同理可知，函数f(x)在区间(，0)上单调递增其简图如图所示1在函数y；yx2；y2x2；yx中，是幂函数的是()A B C D解析：选C幂函数是形如yx(R，为常数)的函数，是1的情形，是2的情形，是的情形，所以都是幂函数；中x2的系数是2，所以不是幂函数，所以只有是幂函数2已知幂函数f(x)kx(kR，R)的图象过点，则k()A. B1 C. D2解析：选A幂函数f(x)kx(kR，R)的图象过点，k1，f，即，k.3下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dyx解析：选A所给选项都是幂函数，其中yx2和yx2是偶函数，yx1和yx不是偶函数，故排除选项B、D，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区间(0，)上单调递减，符合题意，故选A.4若yax是幂函数，则该函数的值域是_解析：由已知yax是幂函数，得a1，所以yx，所以y0，故该函数的值域为0，)答案：0，)5已知2.42.5，则的取值范围是_解析：因为02.42.5，而2.42.5，所以yx在(0，)上为减函数，故0.答案：(，0)