1、第4讲立体几何第1课时空间中线、面平行和垂直关系的证明考情分析立体几何的解答题着重考查线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点题型分析热点1综合法证明平行和垂直1线、面平行问题解题策略(1)证明线面平行：利用线面平行的定义、判定定理，面面平行的性质定理、性质等；(2)证明面面平行：利用面面平行的定义、判定定理、垂直于同一直线的两个平面平行、平行于同一平面的两个平面平行；(3)利用线线、线面、面面平行的相互转化2线、面垂直问题解题策略(1)证明线线垂直：利用图形中的垂直关系、等腰三角形底边中线的性质、勾股定理、线面垂直的性质；(2
2、)证明线面垂直：利用判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的性质；(3)证明面面垂直：利用判定定理、证明直二面角；(4)利用线线、线面、面面垂直的相互转化 (2019江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC.求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面A
3、BC.又因为BE平面ABC，所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.(1)利用综合法证明平行和垂直的步骤巧转化：根据图形与已知条件，通过转化寻找证明平行或垂直所需要的条件；用定理：将上述转化所得的条件代入相应的判定或性质定理；得结论：根据定理证得相应的结论(2)利用线面平行的判定定理证明线面平行是常用方法，根据定理要求，需证线线平行，而证明线线平行的方法则常用三角形中位线的性质、构造平行四边形或平行公理，要根据图形特征灵活选择方法(3)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直是常用方法，而其
4、需要证明线面垂直在证明线线垂直时，要注意特殊图形中的隐含垂直关系，如直棱柱和正棱柱的条件，菱形对角线相互垂直平分，圆中直径所对的圆周角为90等1如图，平面ABB1A1为圆柱的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点(1)求证：BC平面A1AC；(2)若D为AC的中点，求证：A1D平面O1BC.证明(1)因为ABB1A1为圆柱的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点，所以BCAC.又在圆柱中，AA1底面圆O，所以AA1CB，又AA1ACA，所以BC平面A1AC.(2)如图，取BC边中点M，连接DM，O1M.因为D为AC的中点，所以DMAB，且DMAB.又在圆柱中，A1O1AB且A1O1
5、AB，所以DMA1O1且DMA1O1，所以A1DMO1是平行四边形，故A1DO1M.又A1D平面O1BC，O1M平面O1BC，所以A1D平面O1BC.2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为正方形，四边形BB1C1C为菱形，BB1C160，平面AA1B1B平面BB1C1C.(1)求证：B1CAC1；(2)设点E，F分别是B1C，AA1的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由解(1)证明：如图所示，连接BC1.因为四边形BB1C1C为菱形，所以BC1B1C.又因为四边形AA1B1B为正方形，所以ABBB1，因为平面AA1B1B平面BB1C1C，平面AA1B1
6、B平面BB1C1CBB1，AB平面AA1B1B，所以AB平面BB1C1C.又B1C平面BB1C1C，于是ABB1C.又因为ABBC1B，所以B1C平面ABC1.因为AC1平面ABC1，所以B1CAC1.(2)直线EF与平面ABC的位置关系为平行，证明如下：如图所示，取BC中点D，连接AD，DE.因为E是B1C的中点，所以DEBB1且DEBB1.因为四边形AA1B1B为正方形，F是AA1的中点，所以AFBB1且AFBB1，故DEAF且DEAF，所以四边形ADEF是平行四边形，因此ADEF.又AD平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.热点2向量法证明平行和垂直设空间两条直线l1，l2的方
7、向向量分别为e1，e2，两个平面1，2的法向量分别为n1，n2，则有如下结论：直线、平面平行垂直l1与l2e1e2e1e20l1与1e1n11与2n1n2n1n20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.证明依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以BEDC.(2)因为ABAD，又PA
8、平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，所以向量(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而(0,1,1)(1,0,0)0，所以BEAB，又BE平面PAD，所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的法向量(1,0,0)，向量(0,2，2)，(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即不妨令y1，可得n(0,1,1)为平面PCD的一个法向量且n(0,1,1)(1,0,0)0，所以n.所以平面PAD平面PCD.(1)向量法证明平行与垂直的四个步骤建立空间直角坐标系建系时，要满足三垂直的条件，同时尽可能地利用已知的垂直关
9、系；建立空间图形与空间向量之间的关系用空间向量表示出问题中所涉及的点、线和平面；通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行和垂直关系；根据运算结果揭示相关几何问题(2)利用向量法证明平行和垂直关系时，也可以配合使用相关的判定和性质定理，将其中的线线平行和垂直，利用向量运算求解；特别是证明线面平行关系时，还可利用空间向量的共面定理(即平面向量基本定理)，切记不要忽视线在面外的条件如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明(
10、1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0，0,4)，C1(0,2,4)设BAa，则A(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2).0，0440，则B1DBA，B1DBD.又BABDB，BA，BD平面ABD，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则，(0,1,1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，EG，EF平面EGF，因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.专题作业1(2017江苏高
11、考)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.2如图，在正方形AMDE中，B，C分别为AM，MD
12、的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA平面AMDE，PAAE，求证：AF平面PED.证明(1)因为四边形AMDE为正方形，B为AM的中点，所以ABDE.又DE平面PED，AB平面PED，所以AB平面PED.又因为AB平面ABHGF，平面ABHGF平面PEDFG，所以ABFG.(2)因为PA平面AMDE，ED平面AMDE，所以PAED，又因为四边形AMDE为正方形，所以AEED.因为AEPAA，所以ED平面PAE.又AF平面PAE，所以EDAF.因为PAAE，F为棱PE的中点，所以AFPE，又EDPEE，所以
13、AF平面PED.3.(2019广东深圳模拟)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点求证：(1)MN平面A1B1C1；(2)平面MBC1平面BB1C1C.证明由题意知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，AA1所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AC所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)(1)因为几何体
14、是直三棱柱，所以侧棱AA1底面A1B1C1.因为(2,0,0)，(0,1,1)，所以0，即.又MN平面A1B1C1，故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因为(1,2,0)，(1,0,2)，所以即令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2,1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0,1,1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，故平面MBC1平面BB1C1C.4.(2019南京模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，ABCBCD90，AB4，C
15、D1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD所成的角为30.求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明以点C为坐标原点，分别以CB，CD，CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.
