1、第一章 常用逻辑用语本章小结专题一 命题及其关系本章常用逻辑用语所涉及的内容主要有以下两方面：(1)命题的四种形式及原命题与其逆否命题的等价性，以及含有一个量词的全称命题、特称命题的否定(2)充分条件、必要条件的判定，充要条件的证明及应用【例 1】写出命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假【分析】结合四种命题的概念写出逆命题、否命题、逆否命题，再结合它们的关系及命题的具体含义进行真假的判断【解】原命题：平行四边形的对角线互相平分，是真命题；逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不互相平分，
2、是真命题；逆否命题：对角线不互相平分的四边形，不是平行四边形，是真命题【例 2】写出下列命题的否定(1)各数位数字之和能被 3 整除的整数都能被 3 整除；(2)有的素数是偶数；(3)所有的人都喝水；(4)存在有理数 x0，使 x2020.【分析】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，要特别注意量词的变化【解】(1)存在各数位数字之和能被 3 整除的整数不能被 3整除；(2)所有的素数都不是偶数；(3)有的人不喝水；(4)xQ，x220.【例 3】已知关于 x 的方程(1a)x2(a2)x40，aR，求方程有两正根的充要条件【分析】先求出方程有两个实根的充要条件，再讨论 x2的系
3、数及运用根与系数的关系求出要求的充要条件【解】方程(1a)x2(a2)x40 有两个实根的充要条件是1a0a22161a0 a1，a2，或a10，即 a10，或 a2，且 a1.设此时方程的两实根为 x1，x2，有两个正根的充要条件是：a1a2，或a10 x1x20 x1x20 a1a2，或a10a2a104a101a2，或 a10.即方程有两个正根的充要条件是 1b，则1a1b；命题 q：ab0ab0.给出下列四个复合命题：p 或 q；p 且 q；綈 p；綈 q.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3C解析 本题考查简单命题与复合命题的真假关系由已知条件容易判断命题 p 为假，命题 q
4、 为真再由简单命题和复合命题的真假关系可知：p 或 q 为真；p 且 q 为假；綈 p 为真；綈 q 为假【例 5】命题 p：函数 f(x)sin(2x6)1 满足f(3x)f(3x)命题q：函数g(x)sin(2x)1可能是奇函数(为常数)则复合函数“p 或 q”“p 且 q”“非 q”为真命题的个数为()A0 B1 C2 D3C解析 对命题 p：ysinx 的对称轴为 xk2，kZ.令2x6k2得函数 f(x)sin(2x6)1 的对称轴为 xk2 3，kZ，故 x3适合，即 f(3x)f(3x)成立所以 p 为真对命题 q：若 g(x)为奇函数，因为 g(x)的定义域为 R，则有 g(0
5、)0，即 sin1.所以 2k32，kZ.所以 q 为真，所以可判断真命题的个数为 2.专题三 全称命题与特称命题全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合 M 中每一个 x 验证 p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合 M 中，能找到一个 xx0，使 p(x0)成立即可否则，这一特称命题为假解析 A B存在 xA，有 xB，故错误；同理均错；正确专题四 反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若 p，则 q”的否定“若 p，则綈 q”，由此进行推
6、理，如果发生矛盾，那么就说明“若 p，则綈 q”为假，从而可以导出“若 p，则 q”为真，从而达到证明的目的反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要，下面举例说明例 7 设函数 f(x)2x2mxn，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1.【分析】由于欲证结论的情况繁杂，因而不妨从其反面入手，故用反证法【证明】假设原命题不成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 1，则|f1|1，|f2|1，|f3|1，12mn1，182mn1，1183mn1.得112mn9 与矛盾，所以假设不成立即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1.【点评】(1)较适宜使用反证法的常见情况：以“至少”或“至多”的形式为结论的命题；涉及“唯一性、存在性”的问题；以否定形式为结论的命题；从结论的反面易入手研究的问题(2)正确地作出“若 p，则 q”的否定：“若 p，则非 q”是正确运用反证法的前提(3)反证法的逻辑根据为：要证明命题“若 p 则 q 为真”，改证“若 p 则非 q 为假”因此，反证法的核心是从非 q 出发去导出矛盾温示提馨请 做：单元综合测试一PPT文稿（点击进入）