1、湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测 数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程所表示的曲线是 （ ）A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分【解析】C2.已知，则向量的夹角为（ ） A B C D 【解析】C3. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B.C. D.【解析】A4. 已知 ( )A4 B6 C8 D不存在【解析】 B5. 下列命题错误的是 （ ）A.对于命题p：若xy0，则x，y中至少有一个为零，则是：若xy0，则x，y都不为零B
2、.对于命题p：xR，使得x2x10，则方程x2xm0有实根”的逆否命题为“若方程x2xm0无实根，则m0”D.“x1”是“x23x20”的充分不必要条件【解析】 A6椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）.A. 75 B. 60 C. 45 D. 30【解析】B7已知点P的双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（O为坐标原点），且PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） A+lB C D【解析】AD1ABCDA1C1B1P8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P
3、是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 （ ）A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线【解析】D二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知双曲线的一个焦点为F（0，2），则m的值是 . 【解析】-110若向量的夹角为，则的值为 【解析】，11.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是_。【解析】12已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 【解析】13已知非零向量与满足()=0且= ，则ABC的形状为_【解析】等边三角形14. 已
4、知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数等于 .解析：由题意可知：抛物线的准线方程为，则点，双曲线的左顶点为，所以直线的斜率为，由题意可知：.ACBMP15. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面内一点，定义，其中分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值为 .解析：依题意可知，又恒成立，解得，或.故的最小值为1.三解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、已知命题p：向量=（1，1，）与向量=（-1，-1，）平行。命题q：方程表示双曲线。若“”和“”都为真，求m的取值范围。17
5、.（本题满分12分）已知函数（1）若函数在处的切线平行于直线，求值。（2）设函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。解：（1）又4分（2）=，8分又在上单调递增，在上恒成立即在上恒成立。令只要 12分18.（本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD和矩形ABEFCDAACEF所在的平面互相垂直，. （1）求证：ACBF；（2）求二面角FBDA的余弦值；(3) 求点A到平面FBD的距离. 因此以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系， 2分 （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,0),F(0, ,),B(-1,0),6分（2）平面ABD的法向量 解出,cos=,所求
6、二面角FBDA的余弦值为9分(3)点A到平面FBD的距离为d,. 12分19（本小题满分13分） 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点. （）求该椭圆的方程； （）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，2分 3分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为， 得上交点为， 4分由代入得，解得或（舍去），从而 6分 该椭圆的方程为该椭圆的方程为 7分（2） 倾斜角为的直线过点， 直线的方程为，即，8分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，9分则得
7、 10分 解得，即 又满足，故点在抛物线上。 12分所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。13分20.（本小题满分13分）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆lh20m05m3m（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M
8、、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若 =30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价与梯形顶部单位面积钢板造价相同且为定值，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10， 2）在椭圆上，lh20m05m3mxyoP令椭圆方程为+=1.将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时=2a=,因此隧道的拱宽约为 m. （2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可由椭圆方程+=1，得+=1.因为+，即ab40，所以半椭圆面积S=. 当S取最小值时，有=，得a=1
9、0，b=.此时l=2a=20， h=b+3=+3故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 （3）根据题意设要使总造价最低，只要梯形的两腰长与上底长之和最短即可，令这个和为，则，的几何意义是点（x，0）到点（0,0）和点（15,2）的距离和的两倍，答：，总造价最小。21.已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210x200相切.过点P(4,0)作斜率为的直线，使得和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|PB|PC|2.(1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S
10、中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P（x,y）（y0）为椭圆上一点，求当的面积最大时点P的坐标.解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为ykx，则由渐近线与圆x2y210x200相切可得，所以k，即双曲线G的渐近线的方程为yx. 3分(2)由(1)可设双曲线G的方程为x24y2m，把直线的方程y(x4)代入双曲线方程，整理得3x28x164m0，则xAxB，xAxB.(*)|PA|PB|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，即(xB4)(4xA)16，整理得4(xAxB)xAxB320.将(*)代入上式得m28，双曲线的方程为1. 7分(3)由题可设椭圆S的方程为1(a2)，设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则1，1，两式作差得0.由于4，x1x22x0，y1y22y0，所以0，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线0截在椭圆S内的部分.又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，即a256，故椭圆S的方程为1. 11分 由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，易得切线m的方程为，解得切点坐标，则P点的坐标为 13分