1、宁夏吴忠市回民中学2013年高考数学五模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U=R，集合M=x|x21，N=x|x2x0，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（）ABCD考点：Venn图表达集合的关系及运算.分析：集合M、N分别是两个二次不等式的解集，分别解出，再考查它们的关系，转化为韦恩图解答：解：由已知M=x|x21=x|1x1，N=x|x2x0=x|0x1，故NM，故选B点评：本题考查二次不等式的解集、集合间的关系以及韦恩图，较简单2（5分）（2010朝阳区二模）设i为虚数单位，则复
2、数所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念.专题：计算题分析：由于复数z=1i，在复平面内的对应点位 （1，1），从而得到结论解答：解：复数z=1i，在复平面内的对应点位 （1，1），故选 B点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为 1i，是解题的关键3（5分）（2003北京）在等差数列an中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A4B5C6D7考点：等差数列的性质.专题：计算题分析：法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4法二：因为a1+a5
3、=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4解答：解：法一：an为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，a1+2d=4，即a3=4故选A法二在等差数列中，a1+a5=a2+a4=2a3，由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，a3=4故选A点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用4（5分）（2010朝阳区二模）过点（4，4）引圆（x1）2+（y3）2=4的切线，则切线长是（）A2BCD考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系.专题：计算题；数形结合分析：由圆的标准方程找出圆心A坐标和圆的半径|AB
4、|的长，根据题意画出图形，由PB为圆A的切线，根据切线的性质得到ABP=90，利用两点间的距离公式求出|AP|的长，在直角三角形ABP中，由|AB|及|AP|的长，利用勾股定理求出|PB|的长，即为切线长解答：解：由圆的标准方程（x1）2+（y3）2=4，得到圆心A坐标（1，3），半径r=|AB|=2，又点P（4，4）与A（1，3）的距离|AP|=，由直线PB为圆A的切线，得到ABP为直角三角形，根据勾股定理得：|PB|=则切线长为故答案为：点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，两点间的距离公式，以及勾股定理，利用了数形结合的思想其中切线长定理为：经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，且此
5、点与圆心的连线平分两切线的夹角，要求学生借助图形，利用切线的性质构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题5（5分）（2010朝阳区二模）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是，则正方体的表面积是（）A8B6C4D3考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.专题：计算题分析：由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积解答：解：设球的半径为R，由 得 R=1，所以a=2，a=，表面积为6a2=8故选A点评：本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题6（5分）“lnx1”是“x1”的（）A充分不必要条
6、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：对数函数的单调性与特殊点；必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析：由于对数的真数要大于0，得xe，从而可判断由谁推出谁的问题解答：解：lnx1xe，所以“lnx1”是“x1”的充分不必要条件，选择A点评：从集合观点看，若A B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件7（5分）（2010朝阳区二模）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64名，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生3
7、85ab男生375360cA24B18C16D12考点：等可能事件的概率；分层抽样方法.专题：计算题分析：根据题意，在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，可得=0.19，解可得x的值，进而可得初三年级人数，由分层抽样的性质，计算可得答案解答：解：根据题意，在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，有=0.19，解可得a=380则初三年级人数为b+c=2000（385+375+380+360）=500，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，应在初三年级抽取的人数为500=16；故选C点评：本题考查分层抽样方法，涉及分层抽样中概率的计算，是简单题，但却是考
8、查的热点，需要注意8（5分）（2010朝阳区二模）函数的图象大致是（）ABCD考点：函数的图象与图象变化.专题：数形结合分析：本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定解答：解：因为f（0）=，排除C；因为f（x）=3x22x，解f（x）0，所以 x（，0）或 x（，+）时f（x）单调递增，排除B，D故选A点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题9（5分）（2010中山一模）已知两直线m，n，两平面，且m，n下面有四个命题：1）若，则有mn
9、；2）若mn，则有；3）若mn，则有；4）若，则有mn其中正确命题的个数是：（）A0B1C2D3考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.专题：证明题分析：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析也可以利用线线、线面、面面性质之间的相互转换进行判断解答：解：（1），m，m 又nmn 故（1）正确（2）令=面AC，m=C1C，n=BC，=面BC1，明显与不平行，故（2）错误（3）m，mn，n，又n 故答案（3）正确（4）令=面AC，m=C1C，n=BC，=面BC1，明显m与n不平行，故（4）错误故
10、答案选C点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法10（5分）（2012珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A0.5小时B1小时C1.5小时D2小时考点：解三角形的实际应用.专题：计算题分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0
11、），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x0），而点B到射线y=x的距离d=2030，故l=2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B点评：本题主要考查了解三角形的实际应用通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决11（5分）双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于（）ABCD8考点：数列与解析几何的综合.专题：计算题分析：由题意及双曲线的方程知双曲线的虚轴长为4，即2b=4，利用离心率的知求解出a的值，再利用|AB|是|AF2|与|BF2
12、|的等差中项，得到|AB|解答：解：由题意可知，于是，2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=|AF2|AF1|+|BF2|BF1|=4a=8故选A点评：此题重点考查了双曲线方程的虚轴的概念及离心率的概念，还考查了利用双曲线的第一定义求解出|AB|的大小12（5分）（2010朝阳区二模）如图所示，f（x）是定义在区间c，c（c0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：对于c，c内的任意实数m，n（mn），恒成立；若b=0，则函数g（x）是奇函数；若a1，b0，则方程g（x）=0必有3个实数根；若
13、a0，则g（x）与f（x）有相同的单调性其中正确的是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的零点与方程根的关系.专题：计算题；压轴题；数形结合分析：对于c，c内的任意实数m，n（mn），恒成立，可根据函数的单调性来进行判断；若b=0，则函数g（x）是奇函数，由函数解析式的形式判断即可；若a1，b0，则方程g（x）=0必有3个实数根，由函数的图象及参数的取值范围进行判断；若a0，则g（x）与f（x）有相同的单调性，由函数的图象进行判断解答：解：对于c，c内的任意实数m，n（mn），恒成立，由函数的图象可以看出，函数不是单调增函数，故命题不正确；若b
14、=0，则函数g（x）是奇函数，此命题正确，b=0时，g（x）=af（x）是一个奇函数；若a1，b0，则方程g（x）=0必有3个实数根，本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根；若a0，则g（x）与f（x）有相同的单调性，此命题正确，一个函数乘上一个正数再加上一个数，单调性不改变综上正确故选D点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用一般一个一个奇函数乘上一个数仍是奇函数，一个增函数乘上一个正数仍是增函数，一个函数加上一个常数，不改变其单调性，由这些结论即可保证正确做对本题二、填空题：本大题共4小题，
15、每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上13（5分）（2011通州区一模）已知向量，若向量满足，则=考点：平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题：计算题分析：由题设条件知，本题是求向量的坐标的题，题设中已经给出了与向量有关系的一平行一垂直的条件故可设出向量的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量的坐标的方程求其坐标解答：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），又（+），2（y+2）+3（x+1）=0 又（+），（x，y）（3，1）=3xy=0 解得x=，y=故应填：点评：本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的
16、能力14（5分）（2010上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是考点：程序框图.分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值即求分段函数的函数值解答：解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）
17、建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模15（5分）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN+，点（n，Sn）均在函数y=2x1的图象上，若bn=（nN+），则b3=考点：数列的函数特性；等比数列的通项公式.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题设知Sn=2n1，an=SnSn1=2n1再由bn=（nN+），能求出b3解答：解：等比数列an的前n项和为Sn，对任意的nN+，点（n，Sn）均在函数y=2x1的图象上，Sn=2n1，an=SnSn1=2n2n1=2n1bn=（nN+），b3=故答案为：点评：本题考查数列的第三项的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列
18、的函数特性的灵活运用16（5分）（2009山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2300元考点：简单线性规划的应用.专题：计算题；压轴题分析：本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司
19、至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解解答：解：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则目标函数为z=200x+300y作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17（14分）（2010朝阳区二模）设函数f（x）=2sinxc
20、osxcos（2x）（）求函数f（x）的最小正周期； （）当x0，时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法.专题：计算题分析：（）通过二倍角公式已经两角差的余弦函数化简表达式，然后应用两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的系数，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期； （）根据x0，利用（）求出2x的范围，利用正弦函数的最大值直接求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值解答：解：（）因为f（x）=2sinxcosxcos（2x）=sin2x（cos2xcos）=cos2x=sin（2x），所以f（x）
21、=sin（2x）函数f（x）的最小正周期为T=（7分）（）因为x0，所以2x所以，当2x，即x=时，sin（2x）=1，函数f（x）的最大值为1（13分）点评：本题是中档题，考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的周期以及函数的最大值的求法，考查计算能力18（14分）（2011普宁市模拟）某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数78910命中次数2783（1）求此运动员射击的环数的平均值；（2）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次、n次，每个基本事件为
22、（m，n），求事件“m+n10”的概率考点：等可能事件的概率；众数、中位数、平均数.专题：计算题分析：（1）求出运动员射击的总次数为20次，射击的总环数为172（环），故平均环数为，运算求得结果（2）依题意，用（m，n）的形式列出所有基本事件共有12个，满足条件“m+n10”的事件A 共有8个，所以P（A）=解答：解：（1）运动员射击的总次数为2+7+8+3=20次，射击的总环数为27+78+89+310=172（环）故平均环数为=8.6（环）（2）依题意，用（m，n）的形式列出所有基本事件为（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，
23、2），（8，7），（8，3），（7，3）共12个；设满足条件“m+n10”的事件为A，则事件A包含的为（2，8），（7，8），（3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3），总数为8，所以P（A）=，故满足条件“m+n10”的概率为点评：本题考查等可能事件的概率，平均值的求法，列出所有的基本事件，是解题的难点和关键19（14分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O（）求证：SO平面ABCD；（）已知E为侧棱SC上一个动点试问对于SC上任意一点E，平面BDE与平面SAC是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请
24、说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定.专题：证明题分析：（）通过证明SOAC，SOBD，ACBD=O，即可证明SO平面ABCD；（）由（）知SO面ABCD，说明SOBD然后证明ACBD利用ACSO=O，推出BD面SAC再证明平面BDE平面SAC解答：证明：（）因为四边形ABCD是正方形，ACBD=O，所以O是AC，BD中点由已知，SA=SC，SB=SD，所以SOAC，SOBD，又ACBD=O，所以SO平面ABCD（6分）（）对于SC上任意一点E，平面BDE平面SAC证明如下：由（）知SO面ABCD，而BD面ABCD，所以SOBD又因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD因为
25、ACSO=O，所以BD面SAC又因为BD面BDE，所以平面BDE平面SAC（13分）点评：考查重点考查直线与平面垂直的判定定理的应用，平面与平面垂直的判断，考查空间想象能力，推理论证能力20（14分）（2010南通模拟）平面直角坐标系xOy中，已知M经过点F1（0，c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c0（1）求M的标准方程（用含c的式子表示）；（2）已知椭圆（其中a2b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是
26、否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程；圆的标准方程；椭圆的简单性质.专题：综合题分析：（1）设M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题设，得，由此能求出M的方程（2）M与x轴的两个交点，又B（b，0），D（b，0），由题设，由此能求出椭圆离心率的取值范围（3）由，得所以直线MF1的方程为，由此能够导出直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上解答：解：（1）设M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题设，得解得M的方程为，M的标准方程为；（5分）（2）M与x轴的两个交点，又B（b，0），D（b，0），由题设即所
27、以解得，即所以椭圆离心率的取值范围为；（10分）（3）由（1），得由题设，得，直线MF1的方程为，直线DF2的方程为由，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上（15分）点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆曲线的性质和公式的合理运用21（14分）已知函数，aR，且a0（）若f（2）=1，求a的值；（）当a=0时，求函数f（x）的最大值；（）求函数f（x）的单调递增区间考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.专题：计算题；压轴题分析：（）求出函数导数，根据f（2）=1，即可得到a的值（）当a=0时
28、，求函数f（x）的导数，令导数等于0，解得极值点，再借助函数在定义域上的单调性，判断极值点处取得最大值（）求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间，令导数小于0，解得函数的减区间因为函数中含有参数，注意对参数讨论解答：解：（）函数的定义域为（0，+），由f（2）=1，解得（）由f（x）=lnxx，得由，解得0x1；由，解得x1所以函数f（x）在区间（0，1）递增，（1，+）递减因为x=1是f（x）在（0，+）上唯一一个极值点，故当x=1时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（1）=1（）因为（1）当a=0时，令解得0x1（2）a0时，令，解得或x=1（）当即0a1时，由，及x0得 ax2
29、（a+1）x+10，解得0x1，或；（）当即a=1时，因为x0，恒成立（）当即a1时，由，及x0得 ax2（a+1）x+10，解得，或x1；综上所述，当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，1）；当0a1时，函数f（x）的递增区间是（0，1），；当a=1时，函数f（x）的递增区间是（0，+）；当a1时，函数f（x）的递增区间是，（1，+）点评：本题主要考查了导数与函数极值，最值，单调区间的关系四、选考题：（本小题满分0分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22（2010锦州三模）如图所示，已知PA与O
30、相切，A为切点，PBC为割线，弦CDAP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EFEC（）求证：P=EDF；（）求证：CEEB=EFEP考点：与圆有关的比例线段.专题：证明题分析：（1）根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论（2）根据第一问所得的结果和对顶角相等，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应线段成比例，把比例式转化为乘积式，再根据相交弦定理得到比例式，等量代换得到结果解答：证明：（1）DE2=EFEC，DE：CE=EF：EDDEF是公共角，DEFCEDEDF=CCDAP，C=P
31、P=EDF（2）P=EDF，DEF=PEA，DEFPEADE：PE=EF：EA即EFEP=DEEA弦AD、BC相交于点E，DEEA=CEEBCEEB=EFEP点评：本题考查三角形相似的判定和性质，考查两条直线平行的性质定理，考查相交弦定理，是一个比较简单的综合题目23选修44坐标系与参数方程已知直线l过定点与圆C：相交于A、B两点求：（1）若|AB|=8，求直线l的方程；（2）若点为弦AB的中点，求弦AB的方程考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系.专题：直线与圆分析：（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，把圆C的方程化为普通方程，利用弦长|AB|=2（d为圆心到直线l的距离
32、）即可求出；（2）利用OPAB的关系求出直线AB的斜率，进而求出方程解答：解：（1）当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则，由圆C：消去参数化为x2+y2=25，圆心C （0，0），半径r=5圆心C （0，0）到直线l的距离d=，|AB|=8，8=2，化为，直线l的方程为，即3x+4y+15=0；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=3，满足|AB|=8，适合题意（2）kOP=，ABOP，kAB=2直线AB的方程为，化为4x+2y+15=0联立，解得弦AB的方程为4x+2y+15=0点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、弦长|AB|=2（d为圆心到直线l的距离）公式、互相垂直的直线之间的斜率
33、关系是解题的关键24选修45：不等式选讲已知函数f（x）=|x+2|+|x3|（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）解不等式|x+2|+|x3|8考点：绝对值不等式的解法；函数图象的作法.专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用分析：（1）根据绝对值的定义，将函数f（x）去绝对值化简成分段函数的形式，再根据一次函数图象作法即可得到函数y=f（x）如图所示的图象；（2）求出函数y=f（x）的图象与直线y=8的交点的横坐标，结合函数的图象加以观察，不难得到不等式|x+2|+|x3|8的解集解答：解：（1）f（x）=|x+2|+|x3|=根据一次函数图象的作法，可得函数y=f（x）的图象如图所示：（2）根据（1）的图象，解方程2x+1=8，得x=；解方程2x1=8，得x=再观察图象，可得f（x）8的区间为（，）不等式|x+2|+|x3|8的解集为（，）点评：本题给出含有绝对值的函数，求作函数的图象并求不等式的解集，着重考查了函数图象的作法、绝对值的定义和不等式的解法等知识，属于中档题版权所有：高考资源网()
