1、1 数据链接 真题试做 2 数据聚焦 考点梳理 a3 数据剖析 题型突破 第18讲 等腰三角形、直角三角形 目 录 数据链接 真题试做 命题点 全等三角形的性质及判定 1.(2020河北,22)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP.(1)求证:AOEPOC;写出1,2和C三者间的数量关系,并说明理由;(2)若OC=2OA=2,当C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留).全等三角形的性质及
2、判定 命题点返回子目录 数据链接 真题试做 1 返回子目录 解：(1)证明：OP=OA,OC=OE，COP=EOA，AOEPOC.2=1+C.理由：2=1+E，又C=E，2=1+C.(2)相切.点P为半圆O的切点，OPCP.OP=1，OC=2，PCO=30.EOD=PCO+OPC=30+90=120.扇形=.返回子目录 2.(2019河北,23)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为APC的内心.(1)求证:BAD=CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当ABAC
3、时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.返回子目录 解：(1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE,ABCADE(SAS).BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC.BAD=CAE.(2)PD=6-x;如 图,当 AD BC 时 x 最小,PD最大.B=30,AB=6,x=AB=6=3.PD的最大值为3.(3)m=105,n=150.返回子目录 3.(2018河北,23)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=.(1)求证:APMBPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若
4、BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.返回子目录 解：(1)证明:P为AB的中点,PA=PB=AB.在APM和BPN中,APMBPN(ASA).A=B,PA=PB,APM=BPN,(2)由(1),得APMBPN,PM=PN=MN.MN=2BN,BN=MN=PN.=B=50.(3)4090.返回子目录 4.(2016河北,21)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:ABCDEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.解:(1)证明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF.又AB=
5、DE,AC=DF,ABCDEF(SSS).(2)ABDE,ACDF.理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF.数据聚焦 考点梳理 考点 1 全等三角形及其性质 考点 2 全等三角形的判定 全等三角形及其性质 考点1返回子目录 1.定义:能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.数据聚集 考点梳理 2 2.性质(1)全等三角形的对应边 ,对应角 .(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等,周长 ,面积 .相等相等相等相等全等三角形的判定 考点2返回子目录 1.全等三角形的判定 类型 图形 已知条件 是否全等 判定定理 一般三角形全等的判定 A1B1
6、=A2B2,B1C1=B2C2,A1C1=A2C2 是 B1=B2,B1C1=B2C2,C1=C2 是 ASA B1=B2,C1=C2,A1C1=A2C2 是 AAS A1B1=A2B2,B1=B2,B1C1=B2C2 是 SSSSAS返回子目录 续表 类型图形已知条件是否全等判定定理直角三角形全等的判定A1B1=A2B2,A1C1=A2C2是 HL返回子目录【温馨提示】(1)一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形,而“HL”只适用于直角三角形全等的判定;(2)“SSA”“AAA”不能判定三角形全等;(3)证明三角形全等时,对应顶点的字母必须写在对应位置上.返回子目录 2.证明两个三角形全
7、等的基本思路 判定三角形全等 已知两边 已知一边和一角 找夹角SAS 找直角HL或SAS 找另一边SSS 边为角的一边 边为角的对边找任一角AAS 找角的另一边SAS 找夹边的另一角ASA 找边的对角AAS 已知两角 找夹边ASA 找其中一角的对边AAS 数据剖析 题型突破 考向 1 全等三角形的判定 考向 2 全等三角形的性质及相关计算 全等三角形的判定（5年考3次）考向1返回子目录 数据剖析 题型突破 3 1.(2021河北模拟)嘉淇发现有两个结论:在A1B1C1与A2B2C2中,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,B1C1=B2C2,则A1B1C1A2B2C2;若A1=A2,A1C
8、1=A2C2,B1C1=B2C2,则A1B1C1A2B2C2.对于上述的两个结论,下列说法正确的是()A.,都错误 B.,都正确 C.正确,错误 D.错误,正确 C返回子目录 2.(2021石家庄模拟)如图,在AOB和COD中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD=36,连接AC,BD相交于点M,连接OM.下列结论:AMB=36,AC=BD,OM平分AOD,MO平分AMD.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个B返回子目录 B 3.(2021河北模拟)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()A.B.2
9、 C.2 D.返回子目录 4.(2021石家庄模拟)已知:如图,点A,F,E,C在同一直线上,ABDC,AB=CD,B=D.(1)求证:ABECDF;(2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点,连接EG,且EG=5,求AB的长.解:(1)证明:ABDC,A=C.又AB=CD,B=D,ABECDF(ASA).(2)E,G分别为线段FC,FD的中点,EG=CD.EG=5,CD=10.ABECDF,AB=CD=10.返回子目录 5.(2021河北预测)已知,在ABC中,A=90,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DEDF,求证:BE=AF;(2)若点E,F
10、分别为AB,CA延长线上的点,且DEDF,那么BE=AF吗?请利用图说明理由.返回子目录 解:(1)如图,连接AD,BDA=EDF=90,BDE+EDA=EDA+ADF.BDE=ADF.又D为BC的中点,ABC是等腰直角三角形,BD=AD,B=DAC=45.BDEADF(ASA).BE=AF.返回子目录(2)BE=AF,理由:如图,连接AD,BDA=EDF=90,BDE+BDF=BDF+ADF.BDE=ADF.又D为BC的中点,ABC是等腰直角三角形,BD=AD,ABC=DAC=45.EBD=FAD=180-45=135.BDEADF(ASA).BE=AF.返回子目录(1)要证两个三角形全等,
11、至少要有一组对应边相等；(2)在有一组对应边相等的条件下,找任意两组对应角相等即可；(3)在有两组对应边相等的条件下,可以找第三组对应边相等,也可找这两组对应边的夹角相等.全等三角形的性质及相关计算（5年考3次）考向2返回子目录 1.(2021沧州模拟)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则ABC的面积是()BA.B.5 C.2 D.返回子目录 2.(2021 河 北 模 拟)如 图 所 示,AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，1=25，2=30，则3=()A.55 B.50 C.45 D.60 3.(2021石家庄模拟)
12、如图,ABCD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()AA.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-cD返回子目录 4.(2021河北模拟)如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线l过点C,BDl,AEl,垂足分别为D,E.(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:ED=AE+BD;(2)如图2,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB相交时,请你探究ED,AE,BD三者之间的数量关系.返回子目录 解:(1)证明:直线l过点C,BDl,AEl,AEC=BDC=90.ACB=90,EAC+ACE=90,BCD+ACE=90
13、,EAC=BCD.在AEC和CDB中,AECCDB(AAS),CE=BD,AE=CD.ED=CE+CD,ED=AE+BD.EAC=DCB,AEC=BDC，AC=BC,返回子目录(2)ED=BD-AE,理由:直线l过点C,BDl,AEl,AEC=BDC=90.ACB=90,EAC+ACE=90,BCD+ACE=90,EAC=BCD.在AEC和CDB中,AECCDB(AAS),CE=BD,AE=CD.ED=CE-CD,ED=BD-AE.EAC=DCB,AEC=BDC，AC=BC,返回子目录 5.(2021唐山模拟)在直角ABC中,ACB=90,B=60,AD,CE分别是BAC和BCA的平分线,AD
14、,CE相交于点F.(1)求EFD的度数;(2)判断FE与FD之间的数量关系,并证明你的结论.解:(1)在ABC中,ACB=90,B=60,BAC=30.AD,CE分别是BAC和BCA的平分线,FAC=BAC=15,FCA=ACB=45.AFC=180-FAC-FCA=120,EFD=AFC=120.(2)结论:FE=FD.证明:如图,在AC上截取AG=AE,连接FG,AD是BAC的平分线,EAF=GAF.在FAE和FAG中,AEFAGF(SAS),FE=FG,AFE=AFG.EFD=120,DFC=60,AFG=AFE=60,CFG=60=DFC.EC平分BCA,DCF=FCG=45.在FGC和FDC中,FGCFDC(ASA),FG=FD,FE=FD.AE=AG,EAF=GAF，AF=AF,GFC=DFC,FC=FC，FCG=FCD,返回子目录 返回子目录 在求三角形中有关线段的长和角的度数时,先根据三角形全等得出对应边和对应角相等,再根据线段之间与角之间的和、差、倍、分关系进行计算.