1、第9讲函数的图象与性质考情分析高考对函数的图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面，题型以选择题、填空题为主，一般属于中档题函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强函数的零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围；函数的实际应用问题常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数等知识综合命题.热点题型分析热点1函数的图象及其应用1.辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者
2、是根据图象变换作出函数的图象此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断.(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复；从特殊点出发，排除不符合要求的选项.2.函数图象的应用(1)利用函数图象研究函数的性质对于已知或容易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助函数的图象来研究，但一定要注意函数的性质与图象特征
3、的对应关系.(2)利用函数图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合思想求解.(3)利用函数图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.1.(2018全国卷)函数f(x)的图象大致为()答案B解析x0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A；f(1)ee10，排除D；f(x)，x2，f(x)0，排除C；因此选B.2.(2019山西大学附中诊断)函数f
4、(x)的零点个数为()A.0 B1 C2 D3答案C解析对于求函数f(x)ln (x1)x22x的零点个数，可以转化为方程ln (x1)x22x的根的个数问题，分别画出yln (x1)，yx22x的图象如图由图象可得两个函数有两个交点又x0，所以有一个交点又方程2x10的根为x0的限制条件而错选D.热点2函数的性质及其应用1.函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，尤其注意偶函数f(x)的性质：f(x)f(x).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.
5、(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.四招破解函数的单调性(1)对于选择题、填空题，若能画出图象，则一般用数形结合法.(2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决.(3)对于解析式为分式、指数式、对数式等较复杂的函数常用导数法.(4)对于抽象函数一般用定义法.3.三招判断函数奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.(3)对于偶函数而言，有f(x)f(x)f(|x|).1.定义在R上的奇函数f(x
6、)满足f(x2)f(x)，且在0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A.0f(1)f(3) Bf(3)0f(1)C.f(1)0f(3) Df(3)f(1)f(0)f(1)，故选C.2.(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_.答案解析由题意，令g(x)f(x)f，则g(x)函数g(x)在区间(，0，三段区间内均单调递增，且g1,2001，21，据此x的取值范围是.3.(2019青岛调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)ex1，则f(2018)f(2019)_.答案e1解析f(x)是R上的偶函数，f(2019)f(201
7、9)，f(x2)f(x)，f(x)的周期为2，又x0,1时，f(x)ex1；f(2018)f(0)0，f(2019)f(2019)f(1)e1.f(2019)f(2018)e1.第1题不能正确求出函数的最小正周期而导致f(3)的值求错，易错选D.第2题易错点有二：一是分段函数f的解析式与定义域易错，导致f(x)f的解析式不明确而无从下手；二是解不等式时忽略定义域的范围限制而出错.热点3函数零点与方程的根1.判断零点个数的常用方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)
8、1时，直线yxa与y的图象只有一个交点的情况：相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.相交时，由图象可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点过点A(1,1)时，1a，解得a.所以a.结合图象可得，所求实数a的取值范围为1故选D.第1题易错在不能把函数的零点转化为方程|log0.5x|x的根，进而利用指数、对数函数的图象交点来解决问题；第2题利用数形结合思想，转化为直线与曲线交点的问题，易错点有二：一是分段函数图象在定义域的分界点易忽略；二是直线平移的临界位置(区间端点和切点)能不能取到.热点4函数的实际应用函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：(1)常见类型：与函数
9、有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序：(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识综合解答.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.答案24解析由题意得e22k，e11k，当x33时，ye33kb(e11k)3eb19224.本题易错点有二：一是指数
10、式的运算e22kbe22keb能否正确运用；二是利用e11k整体代换的技巧而求解本题.真题自检感悟1.(2018浙江高考)函数y2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析令yf(x)2|x|sin2x，f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin2xf(x)，所以f(x)为奇函数，排除A，B；当x(0，)时，2|x|0，sin2x可正可负，所以f(x)可正可负，排除C.故选D.2.(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B0 C2 D50答案C解析因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，且f
11、(1x)f(1x)所以f(1x)f(x1)，所以f(3x)f(x1)f(x1)，所以T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，选C.3.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，则x0.当x0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.答案(4,8)解析令g(x)f(x)ax依题意，方程f(x)ax恰有2个互异实数解，等
12、价于g(x)0恰有2个互异实数解.又因为g(x)其中a0，所以只需或易解得4a8.专题作业一、选择题1.(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()A.ex1 Bex1C.ex1 Dex1答案D解析当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选D.2.(2019华南师大附中一模)给出下列四个函数：f(x)2x2x；f(x)xsinx；f(x)log3；f(x)|x3|x3|.其中是奇函数的编号为()A. BC. D答案B解析对于，f(x)2x2x(2x2x)f(x)，所以是奇函数；对于，f(x)(
13、x)sin(x)xsinxf(x)，所以是偶函数；对于，f(x)log3log3f(x)，所以是奇函数；对于，f(x)|x3|x3|x3|x3|(|x3|x3|)f(x)，所以是奇函数故选B.3.函数f(x)ln (x1)的一个零点所在的区间是()A.(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 210，函数f(x)ln (x1)的零点所在的区间是(1,2)故选B.4.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlg H，健康人
14、体血液的pH值保持在7.357.45之间(包含7.35和7.45)，那么健康人体血液中的可以为()(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)A. B. C. D.答案C解析设健康人体血液的pH值为x(7.35x7.45)，则根据pHlg H可得H10x.又HOH1014，所以健康人体血液中的10142x100.9,100.7因为lg 20.30，lg 30.48，所以lg 6lg 2lg 30.78，所以lg lg 60.78，所以100.78.结合100.78100.9,100.7可知健康人体血液中的可以为.故选C.5.(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1
15、)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A.2,2 B1,1C.0,4 D1,3答案D解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选D.6.(2017天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abc BcbaC.bac Dbca答案C解析依题意ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1).因为
16、f(x)在R上是增函数，可设0x1x2，则0f(x1)f(x2).从而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)g(x2).所以g(x)在(0，)上亦为增函数.又log25.10,20.80,30，且log25.1log283,20.8213，而20.821log24log25.1，所以3log25.120.80，所以cab.故选C.7.(2019河北武邑中学调研)已知函数f(x)x2，则函数yf(x)的大致图象为()答案A解析由题意可知函数的定义域为(，0)(0，)，函数f(x)x2，f(x)x2，即f(x)f(x)，函数f(x)为非奇非偶函数，排除B和C，当x时，fe2e0，排除D，故选A
17、.8.(2019辽宁部分重点高中联考)已知函数f(x)为定义在3，t2上的偶函数，且在3,0上单调递减，则满足f(x22x3)f的x的取值范围是()A.(1，) B(0,1C.(1， D0，答案C解析因为函数f(x)为定义在3，t2上的偶函数，所以3t20，t5，所以函数f(x)为定义在3,3上的偶函数，且在3，0上单调递减，所以f(x22x3)f等价于f(x22x3)x213,1时，log|a|x2，且|a|，log|a|2，|a|2，则|a|，又a，a.11.已知函数f(x)|x|2x(x0)，则由题意可得方程h(x)g(x)(x(0，)有解，即方程2xlog2(xa)(x(0，)有解，作
18、出函数y2x，ylog2(xa)的图象如图，当a0时，两个图象在(0，)上必有交点，符合题意；当a0时，若两个图象在(0，)上有交点，则log2a，0a，综上可得a，故选A.12.某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为()A.5海里 B.海里C.5海里 D10海里答案B解析设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，ya(3
19、100x)，0x100，则yaa.令y0，得3x，解得x.当x时，y取得最小值.二、填空题13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数如果实数t满足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范围是_.答案解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f，由f(ln t)f2f(1)，得f(ln t)f(1).又函数f(x)在区间0，)上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.14.(2018江苏高考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则ff(15)的值为_.答案解析由f(x4)f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)f(161)f(1)，因此ff(15)fcos.15.(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_.答案3解析0x，3x.由题可知，当3x，3x，或3x时，f(x)0.解得x，或.故函数f(x)cos在0，上有3个零点.16.(2018浙江高考改编)已知R，函数f(x)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.答案(1,3(4，)解析令f(x)0，当x时，x4.当x时，x24x30，则x1或x3.若函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，14.