1、52导数的运算52.1基本初等函数的导数新课程标准解读核心素养1.能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y，y的导数数学运算2.会使用导数公式表数学运算已知函数：yf(x)c；yf(x)x；yf(x)x2；yf(x)；yf(x).问题(1)函数yf(x)c的导数是什么？(2)函数的导数分别是什么？(3)函数均可表示为yx(为常数)的形式，其导数有何规律？知识点一几个常用函数的导数常用函数的求导公式(1)(kxb)k(k，b为常数)；(2)C0(C为常数)；(3)(x)1；(4)(x2)2x；(5)(x3)3x2；(6)；(7)() .1常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f
2、(x)C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴2若f(x)是偶函数，则f(x)是奇函数还是偶函数？提示：奇函数1(多选)下列结论正确的是()A若f(x)0，则f(x)0B若f(x)5x，则f(x)5C若f(x)x1，则f(x)x2D若f(x)x，则f(x)x答案：ABC2若f(x)cos，则f(x)()ABC0D.答案：C知识点二基本初等函数的导数基本初等函数的求导公式(8)(x)x1(为常数)；(9)(ax)axln_a(a0，且a1)；(10)(ex)ex；(11)(loga x)loga e(a0，且a1)；(12)(ln x)；(13)(sin x)c
3、os_x；(14)(cos x)sin_x应用求导公式时应注意的问题(1)对于公式(sin x)cos x，(cos x)sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化；(2)对于公式(ln x)和(ex)ex很好记，但对于公式(logax)和(ax)axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所在的位置 1下列说法正确的个数为()若f(x)，则f(x)21；若f(x)sin x，则f(x)cos x；f(x)，则f(x).A0个B1个C2个 D3个解析：选B只有正确2曲线yx在x2处的导数为12，则_解析：因为yx1，所以2112，解得3.答案：3利用导数公式求函数导数例1(链接教科书第
4、188页练习2题)求下列函数的导数：(1)f(x)x12；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)3x；(5)f(x)log5x.解(1)f(x)(x12)12x11.(2)f(x)(x4)4x5.(3)f(x)()(x)x.(4)f(x)(3x)3xln 3.(5)f(x)(log5x).求简单函数的导函数的两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式 跟踪训练求下列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)x；(3)f(x)logx.解：(1)f(x)l
5、n ln 2.(2)f(x)(x)(x)x.(3)f(x).利用导数公式解决切线问题角度一：求切线的方程例2(链接教科书第188页练习3题)函数f(x)在点处的切线方程是()Ay4xBy4x4Cy4x4 Dy2x4解析f(x)x2，kf4，切线方程为y24，即y4x4.答案B角度二：求参数值例3(链接教科书第188页练习4题)已知ykx是曲线yln x的一条切线，则k_解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意得yk，又y0kx01，而且y0ln x01，从而可得x0e，y01，则k.答案角度三：曲线上的点到直线的最小距离问题例4设P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解如图，设l是
6、与直线yx平行，且与曲线yex相切的直线，则切点到直线yx的距离最小设直线l与曲线yex相切于点P(x0，y0)因为yex，所以e1，所以x00.代入yex，得y01，所以P(0，1)所以点P到直线yx的最小距离为.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解 跟踪训练(1)求曲线f(x)在点B(1，1)处的切线方程；(2)求曲线g(x)ln x的斜率等于4的切线方程解：(1)设所求切线的斜率为k.f(x)()x，kf(1)，曲线f(x)在点B(1，1)处的切线方程
7、为y1(x1)，即x2y10.(2)设切点坐标为(x0，y0)g(x)，曲线g(x)ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，g(x0)4，得x0，y0ln 4，切点为，所求切线方程为yln 44，即4xy1ln 40.导数的综合应用例5(1)质点的运动方程是S(t)sin t，则质点在t时的速度为_，质点运动的加速度为_(2)从时刻t0开始的t(单位：秒)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式qcos t表示求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)(1)解析v(t)S(t)cos t，vcos .即质点在t时的速度为.v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin
8、 t.答案 sin t(2)解由qcos t得qsin t，所以q(5)sin 5，q(7)sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是sin 5安，sin 7安导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在；(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析 跟踪训练曲线yx在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三
9、角形的面积为()A.B.C. D.解析：选C可求得yx，即曲线yx在点(1，1)处的切线斜率为，切线方程为2x3y10，与x轴的交点坐标为，与x2的交点坐标为，围成三角形面积为.1设函数f(x)cos x，则()A0B1C1 D以上均不正确解析：选A注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故选A.2下列各式中正确的是()A(logax) B(logax)C(3x)3x D(3x)3xln 3解析：选D由(logax)，可知A，B均错；由(3x)3xln 3可知D正确3若f(x)x2，g(x)x3，则满足f(x)1g(x)的x值为_解析：由导数的公式知，f(x)2x，g(x)3x2.因为f(x)1g(x)，所以2x13x2，即3x22x10，解得x1或x.答案：1或4设函数f(x)logax，f(1)1，则a_解析：f(x)，f(1)1.ln a1，即a.答案：5求与曲线y在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程解：因为y，所以y()(x)x.即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以所求直线的斜率为3，从而所求直线方程为y83(x4)，即3xy200.
