1、考点测试13函数模型及其应用高考概览考纲研读1了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点答案D解析由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快2 如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象若用黑
2、点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案D解析根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D3国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p025)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元 C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为a万元，则280p%(a280)(p2)%a(p025)%，解得a320故选D4某种动物的种群数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为yalog2(x1)，
3、若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到()A300只 B400只 C500只 D600只答案A解析由题意，得100alog2(11)，解得a100，所以y100log2(x1)，当x7时，y100log2(71)300，故到第7年它们发展到300只5设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为()答案D解析由题意知小王在020 min，3060 min这两段时间运动的路程都在不断增加，在2030 min时，运动的路程
4、不变故选D6f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)答案B解析画出三个函数的图象，如下图所示，当x(4，)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x)7某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的
5、是()Ay12x By6x26x12Cy62x Dy12log2x12答案C解析由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数，故选C8已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40万元 B60万元C120万元 D140万元答案C解析甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20240(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(12040
6、)440(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40280(万元)，共获利4080120(万元)故选C9某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是()Ayx Bylg x1Cyx Dy答案B解析由题意知，x10，1000，符合公司要求的模型需同时满足：函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%对于yx，易知满足，但当x20时，y5，不满足要求；对于yx，易知满足，因为45，故当x4时，不
7、满足要求；对于y，易知满足，但当x25时，y5，不满足要求；对于ylg x1，易知满足，当x10，1000时，2y4，满足，再证明lg x1x25%，即4lg x4x0，设F(x)4lg x4x，则F(x)10，x10，1000，所以F(x)为减函数，F(x)maxF(10)4lg 104102200，则lg 130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 112lg 22，2lg 13(n1)lg 112lg 22，011(n1)005030，解得n又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年故选B14(2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽
8、车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程
9、为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确15(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时 C24小时 D28小时答案C解析由题意得即所以该食品在33 的保鲜时间是ye33kb(e11k)3eb319224(小时)16(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，
10、第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A BC D1答案D解析设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1p)(1q)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1x)2a(1p)(1q)，由于连续两年持续增加，所以x0，因此x1，故选D17(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_答案811解析把z81代入方程组，化简得解得x8，y1118(2014湖北高考
11、)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F(1)如果不限定车型，l605，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时答案(1)1900(2)100解析(1)当l605时，F，F1900，当且仅当v，即v11时取“”最大车流量F为1900辆/小时(2)当l5时，F，F2000，当且仅当v，即v10时取“”最大车流量比(1)中的最大车流量增加20001900100辆/小时三、模拟小题1
12、9(2018福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A8 B9 C10 D11答案C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为n，由n得n10所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”故选C 20(2018德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与
13、时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则p(60)()A150毫克/升 B300毫克/升C150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升答案C解析因为当t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升)21(2018湖北武汉质检)某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示设观察者从点A开始随小车P变化的视角为AOP，练车时间为t，则函数f(t)
14、的图象大致为()答案D解析根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D22(2018河南洛阳调研)一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只能购买一件商品，根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%若该顾客购买某商品使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为()A179元 B199元 C219元 D239
15、元答案C解析因为使用优惠券1比优惠券2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元如果他购买的商品的标价为219元，那么使用优惠券1可以减免219元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免2142元；如果标价为239元，那么使用优惠券1可以减免239元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免2502元，不满足题意故选C23(2018江西4月模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是B1C的中点，动点M在其表面上运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为S，M从P点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与lMA1MC1MD之间满足函数关系lf(x)，
16、则此函数图象大致是()答案D解析连接AB1，AC由题意可知点M的运行轨迹是B1AC，不妨设M从P点出发，沿PCAB1P运行，设AC的中点为Q，AB1的中点为R可知M从P运行到C的过程中，MA1MD从小变大，且MC1从小变大，即l从小变大，同理可知M从C到Q，l从大变小；M从Q到A，l从小变大；M从A到R，l从大变小；M从R到B1，l从小变大；M从B1到P，l从大变小故选D24(2018广东广州调研)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系式t且该食品在4 时的保鲜时间是16小时已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下
17、四个结论：该食品在6 的保鲜时间是8小时；当x6，6时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是_答案解析某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系式t且该食品在4 时的保鲜时间是16小时，24k616，即4k64，解得k，t当x6时，t8，故正确；当x6，0时，保鲜时间恒为64小时，当x(0，6时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故错误；此日10时，温度为8 ，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ，此时的保鲜时间t2
18、1161414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；由可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故正确故正确结论的序号为一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018安徽六校联考)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为电动汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1725元调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1
19、元，租不出的电动汽车就增加3辆设每辆电动汽车的日租金为x(单位：元)(60x300，xN*)，用y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解(1)当60x90，xN*时，y750x1725；当90x300，xN*时，y7503(x90)x17253x21020x1725故f(x)(2)对于y750x1725，60x90，xN*，y在60，90(xN*)上单调递增，当x90时，ymax65775对于y3x21020x17253(x170)284975，
20、9065775，故当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多2(2018福建厦门质检)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最
21、大？解(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，f(50)8041501202775(万元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得故f(x)x4250(20x180)令t，则t2，6，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元3(2018河北衡水中学调研)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元，设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(
22、x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x8360所以W(2)当040时，W16x8360，由于16x21600；当且仅当16x，即x50时取等号，此时Wmax160083606760，综合知，当x50时，W取得最大值6760万元4(2018湖北荆州一模)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)a，x0，24，其中a是与气象有关的参数，且a0，(1)令t(x)，
23、x0，24，求t(x)的最值；(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2试问目前市中心的综合污染指数是否超标？解(1)由t(x)，x0，24，得t(x)，x0，24，令t(x)0，得(x2)(x2)0，则0x2，令t(x)0，则x2，t(x)在0，2上递增，在(2，)上递减，又t(0)0，t(2)，t时，t(x)0，t(x)mint(0)0，t(x)maxt(2)(2)令t，则由x0，24，得t0，令g(t)f(x)t|ta|，t0，则g(t)g(t)在0，和a，上递增，在，a上递减，且g，g1，gg，令0，得1a；令0，得0a1，f(x)maxf(x)max1，目前市中心的综合污染指数没有超标