1、第十四节导数在研究函数中的应用(二) 基础自测1.函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x3)f(x)0的解集为()A(1，)B(，3)C(，1)(1，)D(，3)(1,1)解析：由不等式(x3)f(x)0得或观察图象可知，x3或1x1.所以不等式的解集为(，3)(1,1)故选D. 答案：D2(2013湖南师大附中月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)2xx，则有()Af f fBf f fCf f fDf f f解析：当x1时，f(x)2xln 212ln 21ln 410，故函数f(x)在1，)上单调递增，由函数f(x)的图象关于直线x1对称，得
2、fff，fff，因为，所以fff.正确选项为B.答案：B3 函数f(x)(x22x)ex的最小值为f(x0)，则x0_.解析： f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex，令f(x)0，得x.当x(，)时，f(x)0.所以当x时，函数有最小值答案：4 (2013南宁联考)已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a3(x2a)，显然a0，f(x)3(x)(x)，由已知条件01，解得0a1.答案：(0,1)1(2012浙江卷)设a0，b0，()A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则a2b2b.构
3、造函数：f(x)2x2x，则f(x)2xln 220恒成立，故有函数f(x)2x2x在(0，)上单调递增，即ab成立其余选项用同样方法排除故选A.答案：A2(2013广东卷)设函数f(x)(x1)exkx2(其中kR)(1) 当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2) 当k时，求函数f(x)在0，k上的最大值M.解析：(1) 当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)，令f(x)0，得x10，x2ln 2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值上表可知，函数f(x
4、)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，令f(x)0，得x10，x2ln (2k)，令g(k)ln (2k)k，则g(k)10，所以g(k)在上递增，所以g(k)ln 21ln 2ln e0，从而ln (2k)k，所以ln (2k)0， k，所以当x(0，ln (2k)时，f(x)0；当x(ln (2k)，)时，f(x)0；所以Mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3，令h(k)(k1)ekk31，则h(k)k(ek3k)，令(k)ek3k，则(k)ek3e30，所以(k)在上递减，而 (1)
5、(e3)0，所以存在x0使得(x0)0，且当k时，(k)0，当k(x0,1)时，(k)0，所以(k)在上单调递增，在(x0,1)上单调递减因为h0，h(1)0，所以h(k)0在上恒成立，当且仅当k1时取得“”综上，函数f(x)在0，k上的最大值M(k1)ekk3. 答案：见解析 1(2012广东金山一中等三校考前测试)函数y在区间(0,1)上()A是减函数 B是增函数C有极小值 D有极大值解析：f(x)，当x(0,1)和x(1，e)时，f(x)0.在区间(0,1)上，f(x)是减函数，当xe时，f(x)有极小值f(e)e. 故选A.答案：A2(2013揭阳一模)已知函数f(x)ln x，g(x
6、)f(x)ax2bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)试讨论函数g(x)的单调性；(3)证明：对任意nN*，都有 成立 解析：(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb，由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0， b2a1. (2)由(1)得g(x)，函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，2ax10在(0，)上恒成立，由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)单调递减；当a0时，令g(x)0得x1或x，若1，即a时，由g(x)0得x1或
7、0x，由g(x)0得x1，即函数g(x)在，(1，)上单调递增，在单调递减；若1，即0 a时，由g(x)0得x或0x1，由g(x)0得1x，即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在单调递减；若1，即a时，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增，综上得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)单调递减；当0a时，函数g(x)在(0,1)单调递增，在单调递减；在上单调递增；当a时，函数g(x)在(0，)上单调递增，当a时，函数g(x)在上单调递增，在单调递减；在(1，)上单调递增证明：(3)由(2)知当a1时，函数g(x)ln xx23x在(1，)单调递增，ln xx23xg(1)2，即ln xx23x2(x1)(x2)，令x1，nN*，则ln，ln ln ln ln，ln n，i = 1即ln (1n) . 答案：见解析
