1、第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题内 容 标 准学 科 素 养1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小4.理解点到面的距离，会用向量方法求点到平面的距离.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 空间角的向量求法预习教材P105110，思考并完成以下问题(1)两异面直线所成角的范围是多
2、少？(2)直线与平面所成的角是怎样定义的？它的取值范围是多少？(3)怎样作出二面角的平面角？它的取值范围是多少？提示：(1)(0，90(2)直线与它在该平面上的射影所成的角，叫做直线与平面所成的角取值范围为0，90(3)过二面角棱上任一点 O 在两个半平面内分别作棱的垂线 OA、OB，则AOB 就是二面角的平面角取值范围为0，180(1)两异面直线 l，m 的方向向量分别是 a，b，则异面直线所成的角，有 cos|cosa，b|.(2)直线与平面的方向向量和法向量分别为 a，n，则直线与平面所成的角为，则 sin|cosa，n|.(3)如图 AB、CD 是二面角-l-的两个半平面与棱垂直的直线
3、，则二面角的大小 AB，CD 知识梳理 空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量分别为 a，b，则 cos 0，2直线与平面所成的角 设直线 l 与平面 所成的角为 ，l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 sin 0，2二面角设二面角-l-为，平面，的法向量分别为 n1，n2，则|cos|n1n2|n1|n2|0，|cosa，b|ab|a|b|cosa，n|an|a|n|cosn1，n2|知识点二 利用空间向量求距离知识
4、梳理 点到平面的距离用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长如图，设 n(a，b，c)是平面 的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为 外一点，P(x，y，z)是平面 内的任意一点，则点 P0到平面 的距离 d|PP0 n|n|ax0 xby0ycz0z|a2b2c2.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题自我检测1若异面直线 l1，l2 的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2,0,4)，则异面直线 l1与 l2 的夹角的余弦值等于()A25 B
5、.25C2 55D.2 55答案：B2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于()A120 B60C150 D30答案：D3二面角-l-中，平面 的一个法向量为 n132，12，2，平面 的一个法向量是 n20，12，2，那么二面角-l-的大小等于()A120 B150C30或 150 D60或 120答案：C探究一 利用向量方法求两异面直线所成角 教材 P111习题 3.2A 组 1 题如图，点 M，N 分别是正方体 ABCD-ABCD的棱 BB和 BC的中点，求：(1)MN 和 CD所成角的大小；(2)MN 和 AD 所成角的大小解析：以D
6、A，DC，DD 为正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz，设正方体棱长为 1，则 C(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,0)，M1，1，12，N12，1，1，CD(0，1,1)，AD(1,0,0)，MN 12，0，12.(1)cosMN，CD MN CD|MN|CD|1222 212，MN，CD 60，即 MN 和 CD所成角的大小为 60.(2)cosMN，AD MN AD|MN|AD|1222 1 22，MN，AD 45，即 MN 和 AD 所成角的大小为 45.例 1 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，点 E，F 分别是
7、棱 AB，BB1 的中点，试求直线 EF 和 BC1 所成的角解析 分别以直线 BA，BC，BB1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系(如图)设 AB1，则 B(0,0,0)，E12，0，0，F0，0，12，C1(0,1,1)，所以EF 12，0，12，BC1(0,1,1)于是 cosBC1，EF BC1 EF|BC1|EF|1222 212，所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60.方法技巧 1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角(4)结合异面直线所成角的范围得到
8、两异面直线所成角2求两条异面直线所成的角的两个关注点(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角(2)范围：异面直线所成角的范围是0，2，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值跟踪探究 1已知在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E是 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 AB1 与 D1E所成角的余弦值为()A.1010 B.105C 1010D 105解析：A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，AB1(0，2,2)，ED1(0,1,2)，|AB1|2 2，|ED1|5，
9、AB1 ED1 0242，cosAB1，ED1 AB1 ED1|AB1|ED1|22 2 5 1010，又异面直线所成角的范围是0，2，AB1 与 ED1 所成角的余弦值为 1010.故选 A.答案：A探究二 利用向量方法求直线与平面所成角 教材 P113页习题 3.2A 组 10 题如图，线段 AB 在平面 内，线段 AC，线段 BDAB，且 AB7，ACBD24，CD25，求线段 BD 与平面 所成的角解析：CD CA AB BD，CA AB，AB BD，CD2 CA2 AB2 BD2 2CA AB 2CA BD 2AB BD，2522427224222424cosCA，BD，cosCA，
10、BD 12，CA，BD 120，AC 与 BD 的夹角为 60，BD 与平面 所成的角为 30.例 2 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面 ABCD，且 PAADAB2BC，M，N 分别为 PC，PB 的中点(1)求证：PBDM；(2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角解析(1)证明：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设 BC1，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M1，12，1.PB DM(2,0，2)1，32，1
11、 0，PBDM.(2)PBAD(2,0，2)(0,2,0)0，PBAD.又PBDM，ADDMD，PB平面 ADMN.即PB 为平面 ADMN 的一个法向量因此PB，DB 的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角cosPB，DB PB DB|PB|DB|42 22 212，且PB，DB 0，PB，DB 3，BD 与平面 ADMN 所成的角为6.方法技巧 1.利用向量方法求直线与平面夹角的两种思路(1)思路一：根据线面角的定义，若直线 PA 与平面 相交于点 A，PO 于点 O，则AO 即为直线 PA 在平面内的射影，这时直线与平面所成角 AP，AO(2)思路二：利用平面的法向量，将直线与平面
12、所成的角转化为其方向向量与平面法向量所成的锐角的余角进行求解以上两种思路中，思路一需要用到线面角的定义，在解题中并不实用，而思路二则不需要找出要求的角，只需利用法向量求解即可，因此一般多采用思路二2利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线 PA 的方向向量PA；(3)求平面的法向量 n；(4)设线面角为，则 sin|PAn|PA|n|.跟踪探究 2.如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值解
13、析：(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B.CACB，OCAB.由于 ABAA1，BAA160，故AA1B 为等边三角形，OA1AB.OCOA1O，AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C.(2)由(1)知 OCAB，OA1AB.又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，OC平面 ABC，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两垂直以 O 为坐标原点，OA，OA1，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 AB2，则 A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1,
14、0,0)，则BC(1,0，3)，BB1 AA1(1，3，0)，A1C(0，3，3)设 n(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，则nBC 0，nBB1 0，即x 3z0，x 3y0，可取 n(3，1，1)故 cosn，A1C nA1C|n|A1C|105，A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105.探究三 利用向量方法求二面角阅读教材 P106例 2如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处从 A，B 到直线 l(库底与水坝的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b，CD 的长为 c，AB 的长为 d.求库底与水坝所成二面角的余弦值题型：利用向量
15、法求二面角的大小方法步骤：(1)根据向量加法法则表示出AB；(2)根据 a2|a|2，求出CA DB；(3)根据CA DB 求出CA 与DB 的夹角即为二面角的平面角例 3 如图所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2，D为 CC1 的中点，求二面角 A-A1D-B 的余弦值解析 取 BC 的中点 O，连接 AO，因为ABC 是正三角形，所以 AOBC，因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AO平面 ABC，所以 AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OO1，
16、OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)设平面 A1AD 的法向量为 n(x，y，z)，AD(1,1，3)，AA1(0,2,0)因为 nAD，nAA1，所以nAD 0，nAA1 0，得xy 3z0，2y0，所以y0，x 3z.令 z1，得 n(3，0,1)为平面 A1AD 的一个法向量又因为AB1(1,2，3)，BD(2,1,0)，BA1(1,2，3)，所以AB1 BD 2200，AB1 BA1 1430，所以AB1 BD，AB1 BA1，即 AB1BD，AB1BA1
17、，且 BDBA1B，所以 AB1平面 A1BD，所以AB1 是平面 A1BD 的一个法向量，所以 cosn，AB1 nAB1|n|AB1|3 322 2 64，又二面角 A-A1D-B 为锐二面角，所以二面角 A-A1D-B 的余弦值为 64.方法技巧 利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来跟踪探究 3如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1BCAB2，ABBC，求二面角 B1-A1C-C
18、1 的大小解析：如图，建立空间直角坐标系则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设 AC 的中点为 M，连接 BM，因为 BMAC，BMCC1，所以 BM平面 A1C1C，即BM(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量设平面 A1B1C 的一个法向量是 n(x，y，z)，A1C(2,2，2)，A1B1(2,0,0)，所以 nA1B1 2x0，nA1C 2x2y2z0，令 z1，解得 x0，y1，故 n(0,1,1)设法向量 n 与BM 的夹角为，二面角 B1-A1C-C1 的大小为，显然 为锐角因为 cos|cos|nBM|n|
19、BM|12，解得 3，所以二面角 B1-A1C-C1 的大小为3.探究四 空间中的距离 阅读教材 P105例 1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？题型：利用向量求空间中的距离方法步骤：(1)不妨设三棱 AB、AD、AA1 的长为 1；(2)利用向量的加法法则AC1 AA1 AB AD；(3)将上式两边平方，得AC1 26，即|AC1|6即为所求 例 4 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别是 C1C，D1A1，AB的中点，求点 A 到
20、平面 EFG 的距离解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)所以AG(0,1,0)，GE(2,1,1)，GF(1，1,2)设 n(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，点 A 到平面 EFG 的距离为 d，则nGE 0，nGF 0，所以2xyz0，xy2z0，所以xz，yz.令 z1，此时 n(1,1,1)，所以 d|AG n|n|13 33，即点 A 到平面 EFG 的距离为 33.方法技巧 向量法求距离(1)求 P，Q 两点间的距离
21、，可转化为求PQ 的模(2)点到平面距离的求法：设 n 是平面 的法向量，B 是平面 外一点，A 是平面 内一点，AB 是平面 的一条斜线，则点 B 到平面 的距离为 d|AB n|n|.(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离求解跟踪探究 4.如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，DG13DD1，过 E，F，G 的平面交 AA1于点 H，求 D1A1 到平面 EFGH 的距离解析：因为点 E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，所以 EFB1C1A1D1.又因为 A1D1平面 EFGH，EF平面 EFGH，所以 A1D1平
22、面 EFGH，所以点 D1 到平面 EFGH 的距离即为 D1A1 到平面 EFGH 的距离以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 E1，1，12，F0，1，12，G0，0，13，D1(0,0,1)，所以EF(1,0,0)，FG 0，1，16.设平面 EFGH 的法向量为 n(x，y，z)，则 nEF 0，nFG 0，即x0，y16z0，令 z6，可得 n(0，1,6)设 D1A1 到平面 EFGH 的距离为 d，连接 D1F，又D1F 0，1，12，所以 d|D1F n|n|4 3737，即 D1A1 到平面 EF
23、GH 的距离为4 3737.课后小结利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果素养培优1对空间角与向量夹角之间的关系理解不清致误在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_易错分析 将向量夹角的余弦值等同于二面角的余弦值自我纠正 因为 cos 0，1，32，2，4021232 22224210102 6 156，所以这个二面角的余弦值为 1
24、56 或156.答案：156 或 1562正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD1-C 的大小易错分析 用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误，根据法向量的方法可知，二面角为钝角，而不是锐角 自我纠正 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)由题意知DA1(1,0,1)是平面 ABD1 的一个法向量，DC1(0,1,1)是平面 BCD1 的一个法向量所以 cosDA1，DC1 DC1 DA1|DC1|DA1|12，所以DA1，DC1 60.所以二面角 A-BD1-C 的大小为 120.04 课时 跟踪训练
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