1、第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系内 容 标 准学 科 素 养1.理解垂直关系与直线方向向量、平面法向量的关系2.掌握利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 线线垂直预习教材P104，思考并完成以下问题立体几何中怎样证明两条直线垂直？提示：法一：证明两条直线所成的角为 90；法二：先证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明线线垂直 知识梳理 线线垂直设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则(1)lmabab0；(2)当 a(a1，b1，c1)，b(a2，
2、b2，c2)时，lma1a2b1b2c1c20.知识点二 线面垂直预习教材P23，思考并完成以下问题立体几何中直线与平面垂直是怎样判定的？提示：法一：该直线与平面内的两条相交直线垂直，可以得到线面垂直法二：若两条平行线中的一条直线与平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直 (1)已知直线 l 的方向向量为 m，平面 的法向量为 n，若 mn，则 l.(2)已知直线 l 的方向向量为 m，平面 内有两条相交直线 a，b，abO，直线 a，b 的方向向量为 a，b，若mamb ml.知识梳理 线面垂直设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则(1)lanan(R)；(2)当 a(a1，b1
3、，c1)，n(a2，b2，c2)，l(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)知识点三 面面垂直知识梳理 设平面，的法向量分别为 n1，n2，则(1)n1n2n1n20；(2)当 n1(a1，b1，c1)，n2(a2，b2，c2)时，a1a2b1b2c1c20自我检测1直线 l1，l2 的方向向量分别为 a(1,2，2)，b(2,3,2)，则()Al1l2Bl1 与 l2 相交，但不垂直Cl1l2D不能确定答案：C2设平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量(2，4，k)，若，则 k()A2 B5C4 D2答案：B探究一 利用向量方法证明线线垂直教材 P111练习 1如图，空间四边形 AB
4、CD 的每条边和 AC，BD 的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点，求证：MNAB，MNCD.证明：设一个基底AB a，AC b，AD c，则MN AN AM 12b12c12a，CD ADAC cb.MN AB 12b12c12a a12ab12ac12a214a214a212a20，MN AB.MN CD 12b12c12a(cb)12bc12c212ac12b212bc12ab0，MN CD，MNAB，MNCD.例 1 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN14CC1.求证：AB1MN.证明
5、 设 AB 中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC所在直线为 y 轴，OO1 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 A12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，M 为 BC 中点，M14，34，0.MN 14，34，14，AB1(1,0,1)，MN AB1 140140.MN AB1，AB1MN.方法技巧 利用向量方法证明线线垂直的方法利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向
6、向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于 0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于 0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直跟踪探究 1.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明：直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C 两两垂直如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角
7、坐标系 Cxyz.则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，AC(3,0,0)，BC1(0，4,4)，AC BC1 0.ACBC1.探究二 利用向量方法证明线面垂直教材 P107练习 1如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是 BB1，CD 的中点，求证：D1F平面 ADE.证明：以DA、DC、DD 为正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz(图略)设正方体棱长为 1，则 D1(0,0,1)，F0，12，0，A(1,0,0)，E1，1，12，D1F 0，12，1，DE 1，1，12，AE 0，1，12.D1F DE 12120，D1FDE
8、.D1F AE 12120，D1FAE.又 AEDEE，D1F平面 ADE.例 2 如图所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为CC1 的中点求证：AB1平面 A1BD.证明 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO.因为ABC 为正三角形，所以 AOBC.因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，且平面 ABC平面 BCC1B1BC，AO平面 ABC，所以 AO平面 BCC1B1.取 B1C1 的中点 O1，以 O 为坐标原点，OB，OO1，OA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(1,0,0)
9、，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)所以AB1(1,2，3)，BA1(1,2，3)，BD(2,1,0)因为AB1 BA1 1(1)22(3)30.AB1 BD 1(2)21(3)00.所以AB1 BA1，AB1 BD，即 AB1BA1，AB1BD.又因为 BA1BDB，所以 AB1平面 A1BD.方法技巧 利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求
10、出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论跟踪探究 2.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAD1，AA12，点 P 为 DD1的中点求证：直线 PB1平面 PAC.证明：如图，以 D 为坐标原点，DC，DA，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1
11、,2)，PC(1,0，1)，PA(0,1，1)，PB1(1,1,1)PB1 PC(1,1,1)(1,0，1)0，所以PB1 PC，即 PB1PC.又PB1 PA(1,1,1)(0,1，1)0，所以PB1 PA，即 PB1PA.又 PAPCP，所以 PB1平面 PAC.探究三 利用向量法证明面面垂直教材 P112页习题 3.2A 组 2 题改编如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面 ACD1平面 B1DB.证明：以DA，DC，DD1 为正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz(图略)，设正方体棱长为1，则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，D
12、B1(1,1,1)，AC(1,1,0)，AD1(1,0,1)，DB1 AC 110，DB1AC.又DB1 AD1 110，DB1AD1.ACAD1A，DB1平面 ACD1.又DB1平面 DB1B，平面 ACD1平面 B1DB.例 3 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1，BAC90，A1A平面 ABC，A1A 3，ABAC2A1C12，D 为 BC 的中点证明：平面 A1AD平面BCC1B1.证明 法一：如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,
13、0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)D 为 BC 的中点，D 点坐标为(1,1,0)，AD(1,1,0)，AA1(0,0，3)，BC(2,2,0)，AD BC 1(2)12000，AA1 BC 0(2)02 300，AD BC，AA1 BC，BCAD，BCAA1.又 A1AADA，BC平面 A1AD.又 BC平面 BCC1B1，平面 A1AD平面 BCC1B1.法二：同方法一建系后，得AA1(0,0，3)，AD(1,1,0)，BC(2,2,0)，CC1(0，1，3)设平面 A1AD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，平面 BCC1B1 的法向量为 n2(x2，y2
14、，z2)由n1AA1 0，n1AD 0，得 3z10，x1y10，令 y11，则 x11，z10，n1(1，1,0)由 n2BC 0，n2CC1 0，得2x22y20，y2 3z20，令 y21，则 x21，z2 33，n21，1，33.n1n21100，n1n2，平面 A1AD平面 BCC1B1.方法技巧 1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就
15、可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度跟踪探究 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点(1)求证：平面 AED平面 A1FD1；(2)在直线 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 AED.解析：(1)证明：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，DA D1A1(2,0,0)，DE(2,2,1)，D1F(0,1，2)设平面
16、 AED 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)由n1DA x1，y1，z12，0，00，n1DE x1，y1，z12，2，10，得2x10，2x12y1z10.令 y11，得 n1(0,1，2)同理，平面 A1FD1 的一个法向量为 n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面 AED平面 A1FD1.(2)由于点 M 在直线 AE 上，因此可设AM AE(0,2,1)(0,2，)，则 M(2,2，)，A1M(0,2，2)要使 A1M平面 AED，只需A1M n1，即21 22，解得 25.故当 AM25AE 时，A1M平面 AED.课后小结(1)用空间向量解决
17、立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理(2)应用向量证明垂直问题的基本步骤：建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；通过向量运算研究垂直问题；根据运算结果解释相关问题素养培优 利用平面的法向量求解空间中的探索性问题在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P平面 C1DE.思路点拨 建立直角坐标系，设出点 P 的坐标，将平面垂直当作已知条件利用它们的法向量垂直可得
18、P 点坐标解析：如图，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，P(0,1，a)，则 A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E12，1，0，C1(0,1,1)，A1B1(0,1,0)，A1P(1,1，a1)，DE 12，1，0，DC1(0,1,1)设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1A1B1 0，n1A1P 0，y10，x1y1a1z10，x1(a1)z1，y10.令 z11，得 x1a1，n1(a1,0,1)设平面 C1DE 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2DE 0，n2DC1 0，12x2y20，y2z20，x22y2，z2y2.令 y21，得 x22，z21，n2(2,1，1)平面 A1B1P平面 C1DE，n1n20，即2(a1)10，得 a12.当 P 为 CC1 的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE.思维启示 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意本题考查面面垂直关系的逆用，由题意设出探求点的坐标，求出两平面的法向量是解题的关键04 课时 跟踪训练