1、1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin，(C()cos()cos cos sin sin，(C()sin()sin cos cos sin，(S()sin()sin cos cos sin，(S()tan()tan tan 1tan tan，(T()tan()tan tan 1tan tan.(T()2.二倍角公式sin 22sin cos，(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2，(C2)tan 2 2tan 1tan2.(T2)【知识拓展】1.降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22.2.升幂公式：1cos 22cos
2、2，1cos 22sin2.3.辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin ba2b2，cos aa2b2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立.()(2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.()(3)若 45，则 tan tan 1tan tan.()(4)对任意角 都有 1sin(sin 2cos 2)2.()(5)y3sin x4cos x 的最大值是 7.()(6)在非直角三角形中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan
3、C.()1.tan 20tan 40 3tan 20tan 40.答案 3解析 tan 60tan(2040)tan 20tan 401tan 20tan 40，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)3 3tan 20tan 40，原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.2.(2016四川)cos28sin28.答案 22解析 由题意可知，cos28sin28cos4 22(二倍角公式).3.(2016全国丙卷改编)若 tan 13，则 cos 2.答案 45解析 tan 13，则 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2si
4、n21tan21tan245.4.(2015江苏)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为.答案 3解析 tan tan()tantan 1tantan 17211723.5.(2016全国甲卷改编)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为.答案 5解析 由 f(x)cos 2x6cos2x 12sin2x6sin x2sin x322112，所以当 sin x1时函数的最大值为 5.第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用例 1(2016盐城模拟)已知 为锐角，cos(4)55.(1)求 tan(4)的值；(2)求 sin(23)的值.解
5、(1)因为(0，2)，所以 4(4，34)，所以 sin(4)1cos242 55，所以 tan(4)sin4cos42.(2)因为 sin(22)sin 2(4)2sin(4)cos(4)45，cos(22)cos 2(4)2cos2(4)135，所以 sin(23)sin(22)6sin(22)cos 6cos(22)sin 64 3310.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)(2016全国丙卷改编)若 tan 34，则 cos22sin 2.(2)计算：sin 110sin 20cos21
6、55sin2155的值为.答案(1)6425(2)12解析(1)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin2 14tan 1tan2 6425.(2)sin 110sin 20cos2155sin2155sin 70sin 20cos 310cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 40 12.题型二 和差公式的综合应用命题点 1 角的变换例 2(1)设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos.(2)(2016镇江期末)由 sin 36cos 54，可求得 cos 2 016的值为.答案(1)2 525 (2)514解析(1)依题
7、意得 sin 1cos22 55，cos()1sin245.又，均为锐角，所以 0cos().因为45 55 45，所以 cos()45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.(2)由 sin 36cos 54，得 sin 362sin 18cos 18cos(3618)cos 36cos 18sin 36sin18(12sin218)cos 182sin218cos 18cos 184sin218cos 18，即 4sin2182sin 1810，解得 sin 182 221624 514，cos 2 016cos(6360144)
8、cos 144cos 362sin2181 514.命题点 2 三角函数式的变形例 3(1)(2016无锡调研)若 tan 12，tan()13，则 tan(2).答案 17解析 方法一 因为 tan 12，所以 tan 2 2tan 1tan2 111443.又 tan()tan tan 1tan tan 12tan 112tan 13，故 tan 1.所以 tan(2)tan tan 21tan tan 214314317.方法二 tan(2)tan(2)tan()tan tan1tan tan12131121317.(2)求值：1cos 202sin 20 sin 10(1tan 5ta
9、n 5).解 原式2cos21022sin 10cos 10sin 10(cos 5sin 5sin 5cos 5)cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin30102sin 10cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.引申探究化简：1sin cos sin 2cos 222cos(0).解 020，6(6，2)，sin(6)3
10、5.sin(2 12)sin2(6)4sin 2(6)cos 4cos 2(6)sin 4 2sin(6)cos(6)22 2cos2(6)1 23545 22 2(45)2112 225 7 250 17 250.(2)cos310sin5sin3102sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5sin cos cos5sin5sin cos cos5sin52sin5cos5cos5sin52sin5cos5cos5sin53sin5sin53.答案(1)17 250 (2)31.(2016苏州暑假测试)已知(0，)，cos 45，则 tan(4
11、).答案 17解析 由(0，)，cos 45，得 tan 34，则 tan(4)tan 11tan 34113417.2.(2016盐城三模)若角 4的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y12x 上，则 tan 的值为.答案 13解析 若角 4的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y12x 上，则tan(4)12，又 tan(4)tan 11tan，所以 tan 13.3.(2015重庆改编)若 tan 13，tan()12，则 tan.答案 17解析 tan tan()tantan 1tantan 12131121317.4.(2016江苏启东中
12、学阶段检测)若、均为锐角，且 cos 117，cos()4751，则 cos.答案 13解析 由于、都是锐角，所以(0，)，又 cos 117，cos()4751，所以 sin 12 217，sin()14 251，所以 cos cos()cos()cos sin()sin 4751 11714 251 12 217 13.5.2cos 10sin 20sin 70的值是.答案 3解析 原式2cos3020sin 20sin 702cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.6.若 02，20，cos(4)13，cos(42)33，
13、则 cos(2).答案 5 39解析 由已知得 4(4，34)，42(4，2)，所以 sin(4)2 23，sin(42)63，所以 cos(2)cos(4)(42)cos(4)cos(42)sin(4)sin(42)13 33 2 23 63 5 39.7.化简 2tan451tan245 sin cos cos2sin2.答案 12解析 原式tan(902)12sin 2cos 2sin902cos90212 sin 2cos 2cos 2sin 212 sin 2cos 212.8.(2016 江苏无锡普通高中期末)已知 sin(45)210 且 090，则 cos 2 的值为.答案 7
14、25解析 因为 sin(45)210且 00)个单位长度后，所得的图象关于 y轴对称，则 m 的最小值是.答案 6解析 y 3cos xsin x2sin(x3)，所以此函数的图象向左平移 m(m0)个单位长度后得到 y2sin(xm3)的图象，由题意得 m32k(kZ)，m0，m6k(kZ 且 k0)，m 的最小值是6.11.已知(2，)，sin 55.(1)求 sin(4)的值；(2)求 cos(56 2)的值.解(1)因为(2，)，sin 55，所以 cos 1sin22 55.故 sin(4)sin 4cos cos 4sin 22(2 55)22 55 1010.(2)由(1)知 s
15、in 22sin cos 2 55(2 55)45，cos 212sin212(55)235，所以 cos(56 2)cos 56 cos 2sin 56 sin 2(32)3512(45)43 310.12.已知(0，2)，tan 12，求 tan 2 和 sin(23)的值.解 tan 12，tan 2 2tan 1tan221211443，且sin cos 12，即 cos 2sin，又 sin2cos21，5sin21，而(0，2)，sin 55，cos 2 55.sin 22sin cos 2 55 2 55 45，cos 2cos2sin2451535，sin(23)sin 2co
16、s 3cos 2sin 3451235 32 43 310.13.已知 cos(6)cos(3)14，(3，2).(1)求 sin 2 的值；(2)求 tan 1tan 的值.解(1)cos(6)cos(3)cos(6)sin(6)12sin(23)14，即 sin(23)12.(3，2)，23(，43)，cos(23)32，sin 2sin(23)3sin(23)cos 3cos(23)sin 312.(2)(3，2)，2(23，)，又由(1)知 sin 212，cos 2 32.tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 22 32122 3.