1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图像判断极值典例设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求函数的极值典例 (2017泉州质检)已知函数f(
2、x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)在(，)上是增加的，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a，当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的，故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)
3、无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值命题点3根据极值求参数典例 (1)(2017沧州模拟)若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为_答案解析f(x)3x24cx1，由f(x)0有两个不同的根，可得(4c)2120，c或c.(2)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解，又x，所以2a，综上，a的取值范围是.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数
4、f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练 (1)函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0答案C解析f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的极值点(2)函数y2x的
5、极大值是_答案3解析y2，令y0，得x1.当x0时，y0；当1x0时，y0.当x1时，y取极大值3.题型二用导数求函数的最值典例 (2017洛阳模拟)已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上是减少的若k0，则f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0在上恒成立，所以0，所以f(x)在上是减少的综上，当k0，得x1；令f(x)0，得1a，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知，f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a
6、0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画
7、出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值跟踪训练若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案C解析由题意，得f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增加的，在(2,0)上是减少的，作出其图像如图所示，令x3x2，得x0或x3，则结合图像可知，解得a3,0)利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，
8、当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的递增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的递增区间为，递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减少的，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增加的，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12，即a1时，函数f(x)在上是增加的，在上是减少的又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.11分综上可知，当0a0，即a23a180.a6或a0.令f
9、(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.5已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18答案C解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.6(2017河北三市二联)若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为()A2bB.bC0 Db2b3答案A解析f(x)x2(2b)x2b(xb)
10、(x2)，函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，3b0，得x2，由f(x)0，得bx0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数是增加的，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.9函数f(x)xex，x0,4的最大值是_答案解析f(x)exxexex(1x)，令f(x)0，得x1.又f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值10已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答
11、案4解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，当m1,1时，f(m)minf(0)4.11(2017北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，所以f(0)0，又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y10.(2)设h(x)ex(co
12、s xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上是减少的所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上是减少的因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.12(2018武汉质检)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x0时，f(x)在1，e上是增加的，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2
13、.13已知函数f(x)x3x2xm在0,1上的最小值为，则实数m的值为_答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1.当x(1，1)时，f(x)0)，则f(t)2t，令f(t)0，得t，当0t时，f(t)时，f(t)0，当t时，f(t)取得最小值15若函数f(x)mln x(m1)x存在最大值M，且M0，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)(m1)(x0)，当m0或m1时，f(x)在(0，)上单调，此时函数f(x)无最大值当0m1时，令f(x)0，则x，当0m1时，f(x)在上是增加的，在上是减少的，当0m0，mlnm0，解得m，m的取值范围是.16已知
14、函数f(x)x2mxln x.(1)若m3，讨论函数f(x)的单调性，并写出单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x10，且f(x)x3，令f(x)0，得0x，令f(x)0，得x.因此函数f(x)在上是减少的，在和上是增加的(2)由题意知，f(x)xm，则易知x1，x2为x2mx10的两个根，且x1x2m，x1x21，所以f(x1)f(x2)xmx1ln x1(xx)m(x1x2)ln x1ln x2(xx)(x1x2)(x1x2)ln x1ln x2ln(xx)lnln.记t，由x1x2且m知0t1，且f(x1)f(x2)ln t，记(t)ln t(t(0,1)，则(t)0，故(t)在(0,1)上是减少的由m知(x1x2)2，从而xx，即，故t，结合0t1，解得0t，从而(t)的最小值为ln 2，即f(x1)f(x2)的最小值为ln 2.
