1、2019年高考模拟检测（三）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合、，再进行交集运算即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及解一元二次不等式，求对数函数的定义域，属于基础题.2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数Z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先解出复数并化简，找出复数z在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可.【
2、详解】解：由，得所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限故选A【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.3. 已知平面向量，若向量与向量共线，则x=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先写出向量的坐标，然后由向量平行的坐标公式列方程解出即可.【详解】解：由，得因为所以，解得故选B【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于基础题.4. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程 ，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元123451015304550A.
3、60B. 63C. 65D. 69【答案】B【解析】【分析】根据表中数据求出，然后根据线性回归方程中系数的求法得到，进而得到回归方程，然后求出当时的函数值即为所求【详解】由表中数据可得，又回归方程中，回归方程为当时，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元故选B【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数，属于基础题5. 程序框图如图，当输入x为2019时，输出y的值为（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由流程图不断循环，找到其中规律，然后可得出输出值.【详解】解：输入，得，第1次判断为是，得；第2次判断为是，得一
4、直循环下去，每次判断为是，得都减3，直到，判断结果为否，得到输出值故选A.【点睛】本题考查了循环结构流程图，看懂流程图，找到循环规律是关键，属于基础题.6. 已知a、b、c分别是ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【详解】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得： 所以 所以三角形为钝角三角形故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.7. 在正方体中，分别是的中点，则异面直线
5、所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，AD的中点为M，易证，即角为所求角，利用余弦定理可得答案.【详解】在正方体中，取AD的中点为M，连接ME，设正方体的边长为1因为在正方体中，F点为的中点，M点为AD的中点，所以与CM平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以所以异面直线所成角也就是所成的角所以 所以 故选D【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题.8. 函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数不具有奇偶性，排除部分答案，然后取值验证即可【详解】解：由已知，则函数
6、不具有奇偶性，排除B、D；令，得，当时，排除C故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，利用排除法可快速得出答案，属于基础题9. 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知：，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，设，则在
7、中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中长度型，属于基础题.10. 若，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果.【详解】二项式的展开式的通项为当时，二次项系数为 而定积分 当且仅当时取等号故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11. 已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则=（ ）
8、A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】分别由椭圆和双曲线的定义表示出AB和BC的长，再利用勾股定理化简可得结果.【详解】如图由题，设椭圆的长半轴为，双曲线的半实轴为，根据椭圆和双曲线定义： 可得 设 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得 即 即2故选B【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.12. 已知函数为上 的连续函数，当时，当时，且对恒成立，函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件可得在上单调递减，在上单调递增，函数为偶函数，当且仅
9、当时，有最小值，对恒成立，可得，又函数恒成立，由函数的一个周期内的图像与的图象恰好有两个公共点，则公共点为 ，所以的周期为2，且可得答案.【详解】因为，由对恒成立所以，即的最小值为1.当时，在上单调递减，当时，上单调递增.所以在上，当时，有最小值.又函数为偶函数，则，当且仅当时，有最小值.由函数恒成立.由，且由函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点.所以其公共点为 所以的周期为2，即，所以.,所以，所以故选：A【点睛】本题考查偶函数的性质，考查函数的单调性和最值，考查三角函数的图像性质，考查分析问题的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，
10、则的值为_.【答案】【解析】【分析】先用二倍角展开，分母添上，然后分子分母同除以，代入即可.【详解】解：故答案为【点睛】本题考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，齐次弦化切，属于基础题.14. 某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书； 乙说：甲或丙得到英语书； 丙说：数学书被甲得到； 丁说：甲得到物理书.最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是_【答案】化
11、学【解析】【分析】利用推理可得，乙、丙、丁均提到甲的信息，所以可以推得甲所获得的图书.【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，乙不正确说明甲没有得到英语书；丙不正确说明甲没有得到数学书；丁不正确说明甲没有得到物理书，综上可知甲得到的是化学书.【点睛】本题主要考查合情推理，结合逻辑进行推理，属于简单题.15. 已知定义在R上的奇函数的图像关于点(2,0)对称，且,则_【答案】3【解析】【分析】先由函数关于(20)对称，求出，然后由奇函数可求出.【详解】解：函数的图像关于点(2,0)对称，所以又因为函数为奇函数，所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的对称性和奇偶性，结合图像简图观察更加形象
12、直观.16. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则|AB|=_【答案】6【解析】【分析】先设直线方程联立抛物线方程得，由抛物线的焦半径公式写出列式可解出，然后由可求出答案.【详解】解：由抛物线，得，当直线AB垂直与x轴时，不符合故可设直线AB：，联立抛物线得所以由抛物线的焦半径可知，所以所以，故答案为6【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列是等差数列，是前项和，且，.（1）求数列
13、的通项公式；（2）若数列，满足：，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程组即可求出和，即可求解；（2）求出，利用裂项求和即可.【详解】（1）由，得，解得，所以.（2）由（1），则.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项求和，属于中档题.18. 随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某市为了顺利地迎接
14、新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：序号12345678910组合学科物化生物化政物化历物化地物生政物生历物生地物政历物政地物历地人数20人5人10人10人5人15人10人5人0人5人11121314151617181920合计化生政化生历化生地化政历化政地化历地化政历生政地生历地政历地5人10人5人25人200人为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学
15、习生物的概率；（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）可知选择学习物理且学习化学的学生共有9人，计算出抽取3人的种数，再计算出至少有2人要学习生物的种数，即可得出概率；（2）可知可取0，1，2，求出概率即可写出分布列，求出期望.【详解】（1）由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率.（2）由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中
16、还学习地理的有2人，则可取0，1，2.012.【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.19. 已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.(I)求动点P的轨迹E的方程(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.【答案】() ()见证明【解析】【分析】（）线段的垂直平分线交于点P，所以，则为定值，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出化简可得定值.【详解】解：（）由题可知，线段的垂直平分线交于点P，
17、所以，则，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，设该椭圆方程为，则，所以，可得动点P的轨迹E的方程为.（）由（）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，由得，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.20. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，点M是EC的中点(1)求证:平面ADEF平面BDE.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由勾股定理可得BDAD，再利用面面垂直的性质可得EDBD，结论得证；（2）建立直角坐标系，分别求出平面BDE和平面BDM的法
18、向量，利用空间向量求其二面角可得答案.【详解】解：(1)由题可知AD=BD=2，AB=则AD2+BD2=AB，根据勾股定理有BDAD，又因正方形ADEF 与梯形ABCD所在平面互相垂直，则ED平面ABCD，则EDBD，而ADED=D，所以BD平面ADEF.而BD平面BDE，所以平面ADEF平面BDE (2)以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（0.2，0），E（0，0，2），C（-2，2，0），M（-，1）.由(1)可得AD平面BDE，则可取平面BDE的法向量，设平面BDM的法向量为，=（-，1），=（0，2
19、，0），由=0，=0，.可得可取=（，0，2），则.设二面角E-BD-M的平面角为，显然为锐角，故【点睛】本题考查了面面垂直的判定和二面角的求法，熟悉判定定理、性质定理、法向量的求法是解题的关键，属于较为基础题.21. 设函数.(1)判断的单调性，并求极值； (2)若，且对所有都成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】(1)求导，对参数a进行讨论求出单调性，即可得极值；（2）令，题目转变为F（x）0恒成立，求导，求得其单调性和最值，分类求得m的值.【详解】解：(1)，当a0时，在R上单调递增，函数无极值； 当a0时，由得，若，单调递减，若，f（x）0，单调递增，
20、的极小值为.(2)令，依题意，对所有的x0，都有F（x）0，易知，F（0）=0，求导可得，令，由得，H（x）在0，+）上为递增函数，即F（x）在x0，+）上为递增函数，若m2，得在x0，+）上为递增函数，有F（0）=0，符合题意，若m2，令0，得.所以在 ）上单调递减，有舍去，综上，实数m的取值范围为.【点睛】本题考查了导函数的应用，利用导函数求单调性，得极值和最值是解题的关键，属于 较难题.22. 选修4-4:坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线（t为参数)，曲线(I)求曲线的直角坐标方程； ()直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨
21、迹的普通方程.【答案】() () 【解析】【分析】（）由由，代入曲线化简即可；（）将代入，设直线上的点对应的参数分别为，结合韦达定理，得出点M的轨迹方程的参数方程，转化为普通方程即可.【详解】解：（）由，代入曲线得，即（）将代入得，设直线上的点对应的参数分别为，则，所以中点M轨迹方程为（为参数），消去参数，得M点的轨迹的普通方程为【点睛】本题考查了极坐标系方程与平面直角坐标系方程的转化，直线的参数方程，动点的轨迹方程，属于中档题.23. 设函数.（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式在实数范围内有解，求实数的取值范围【答案】() () 【解析】【分析】（）由，得，分类讨论去绝对值解不等式即可；（）由不等式在实数范围内有解，得在实数范围内有解，令，分裂讨论求出的最大值即可.【详解】解：（），即，则，当时，解得，当时，解得，所以原不等式的解集为：（）由不等式在实数范围内有解可得，在实数范围内有解，令，则，因为，所以，即【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值函数的最值，属于中档题.