1、第1课时数列的概念与简单的表示方法1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数对应学生用书P80【梳理自测】一、数列的有关概念1数列3，7，11，15，的通项公式可能是()Aan4n7Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1) Dan(1)n1(4n1)2已知数列an的通项公式为an，则这个数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列3在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31C32 D33答案：1.C2.A3.B以上题目主要考查了以下内容：(1)数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每
2、一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)(2)数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.(3)数列的表示法列举法：a1，a2，a3，an，；图象法：数列可用一群孤立的点表示；解析法(公式法)：通项公式或递推公式(4)数列的通项公式如果数列an的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式二、Sn与an的关系1设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15
3、B16C49 D642若数列an的前n项和Snn210n(n1，2，3，)，则通项公式an_答案：1.A2.2n11以上题目主要考查了以下内容：若数列an的前n项和为Sn，则an【指点迷津】1一种特殊性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列数列的图象是一群孤立的点2与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现对应学生用书P81考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出
4、下列各数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)0.8，0.88，0.888，；(3)，；(4)，1，；(5)0，1，0，1，.【审题视点】观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律，写通项公式【典例精讲】(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，an(1)n.(4)将数列统一为，对于分子3
5、，5，7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.(5)an或an或an.【类题通法】1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征2观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决3根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的，要注意代值
6、检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2，0，2，0，；(2)，；(3)，；(4)7，77，777，7 777，.解析：(1)an(2)an.(3)an(1)n.(4)an(10n1)考向二由Sn求an(2014湖南省高三检测)已知函数f(x)是定义在(0，)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，若数列an的前n项和为Sn，且满足f(Sn2)f(an)f(3)(nN*)，则an为()A2n1BnC2n1 D()n1【审题视点】利用函数单调性把f(Sn2)f(an)f(3)转化为Sn与an的关系，
7、利用SnSn1an，求an.【典例精讲】由题意知f(Sn2)f(an)f(3)(nN*)，Sn23an，Sn123an1(n2)，两式相减得，2an3an1(n2)，又n1时，S123a1a12，a11，数列an是首项为1，公比为的等比数列，an()n1.【答案】D【类题通法】已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n1和n2两种情况讨论；特别注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”(3)由SnSn1an，推得an，当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an2已知数列a
8、n的前n项和Sn满足Sn3nb，则an_解析：a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an答案：考向三由递推公式求通项公式(2012高考大纲全国卷)已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式【审题视点】利用SnSn1an转化为an与an1的关系anf(n)an1.采用累乘法求an.【典例精讲】(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n1时
9、有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.综上，an的通项公式an.【类题通法】由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“累加法”、“累乘法”等(1)已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.(2)已知a1且f(n)(n2)，可以用“累乘法”，即f(n)，f(n1)，f(3)，f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.3已知数列an满足a
10、n1an3n2，且a12，求an.解析：a2a15，a3a28，an1an23(n2)2，anan13(n1)2，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)52n(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.对应学生用书P82 数列与函数混淆致误(2014大连模拟)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_【正解】an1an2n，anan12(n1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)(2n4)233n2n33(n2)，又a133适合上式，ann2n33，n1.令f(x)x1(x0)，则f(x)1，令f(x
11、)0得x.当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，即f(x)在区间(0，)上递减；在区间(，)上递增又56，且f(5)51，f(6)61，f(5)f(6)，当n6时，有最小值.【答案】【易错点】n121，为最小值时，即把n和x认为等同的，而此时nN*是不可以的【警示】anf(n)是n的函数，其定义域为N*，而不是R.1(2012高考大纲全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1B.C. D.解析：选B.当n1时，a11，当n2时，anSnSn12an12an，解得3an2an1，an，Sn1.2(2013高考安徽卷)如图，互不相同的点A1，A2，An，和B
12、1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan.若a11，a22，则数列an的通项公式是_解析：记OA1B1的面积为S，则OA2B2的面积为4S.从而四边形AnBnBn1An1的面积均为3S.即得OAnBn的面积为S3(n1)S(3n2)S.a3n2，即an.答案：an3(2013高考全国新课标卷)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_解析：根据数列的前n项和与通项公式的关系先求解首项，再进一步确定是个特殊数列当n1时，S1a1，a11.当n2时，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1
13、为首项的等比数列，其公比为2，an1(2)n1，即an(2)n1.答案：(2)n14(2013高考湖南卷)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_解析：根据anSnSn1(n2)建立关于an的关系式，根据an的关系式归纳寻找其规律后求解anSnSn1(1)nan(1)n1an1，an(1)nan(1)n1an1.当n为偶数时，an1，当n为奇数时，2anan1，当n4时，a3.根据以上an的关系式及递推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).答案：(1)(2)