1、解析几何试题致错的原因剖析一、概念理解不透彻致错例1 已知是圆上的一个定点，是圆外的一个定点，则方程所表示的曲线是A. 直线 B.圆 C. 椭圆 D. 双曲线错解 A。剖析曲线的方程的概念的理解不透彻，概念不清，不知所云.因为是圆上的一个定点，所以，同理是一个不为零的常数。正解为B。变式1下列四个命题中，假命题是A. 经过定点的直线不一定都可以用方程表示；B. 经过两个不同的定点的直线都可以用方程表示；C. 与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程表示；D. 经过定点的直线都可以表示为。答案 D。二、忽视直线倾斜角的范围致错例2直线的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.错解由题意知，所以倾
2、斜角的取值范围是。剖析忽视直线的倾斜角定义的范围，或者由斜率的范围结合正切函数图象求倾斜角的范围出现错误。由题意知，结合正切函数图象，当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角。故倾斜角的取值范围是，正确答案为D.变式2直线的倾斜角的取值范围是。答案。三、忽视直线的特殊情形致错例3 已知点，圆，若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程。错解设直线的方程为，即，易知圆心，则，所以直线的方程为。剖析我们习惯上设直线的斜率为，殊不知，这恰恰忽视了直线斜率不存在的特殊情形。当直线的斜率不存在时，直线方程为，所以圆心到直线的距离为1，显然符合题意。正确答案是直线的方程为或。变式3经过且与圆相切的直线方程是
3、。答案或。四、忽视曲线系的特性致错例4 （2015江苏）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。错解由题意可知，当且仅当时取等号，此时,因此圆的标准方程为.剖析上述解答过程中，只有当时才成立，显然是不严谨的。直线方程整理可得，其实质是过定点的直线系，圆心为。显然，当圆与直线相切于点时，半径最大，因此圆的标准方程为.变式4已知定点和直线，求证：点到直线的距离不大于。答案直线的方程即，显然直线恒过直线与的交点，于是点到直线的距离均不大于两点之间的距离。五、忽视圆锥曲线的概念致错例5已知椭圆的准线是，对应的焦点为，离心率为，则椭圆的方程为。错解1因为焦点为，所
4、以，又椭圆的准线是，所以，故椭圆的方程为。错解2因为焦点为，所以，又离心率为，所以，故椭圆的方程为。剖析学生的思维定势认为圆锥曲线的中心都是在坐标原点，因此求解轨迹方程要借助于图形进行分析，克服思维定势。由定义可得，化简整理得椭圆方程为，显然不是标准形式。变式5已知抛物线的准线是，对应的焦点为，则抛物线的方程为。答案。六、忽视隐含信息致错例6过原点的直线与圆相交于两点，求弦的中点的轨迹方程。错解设点，圆的圆心为，由题意知，则有，所以，化简得。剖析求解轨迹方程时，必须考虑轨迹上的每一个点是否符合题意，即轨迹方程的纯粹性。例题中弦的中点只能落在圆內，即弦最长时是通过圆心的弦，弦最短时趋近与圆相切，
5、因为是不同的两点，所以相切的情形要舍去。因为直线与圆相交，当时，使得弦为最长的弦，即圆的直径；当时，使得弦的长为0，即直线与圆相切，因此点的轨迹方程为。变式6等腰三角形的两腰的交点是，底边的一个端点是，求它的第三个顶点的轨迹方程。答案。七、基本量的意义不清致错例7已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，求双曲线的方程。错解因为椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，所求的双曲线的方程为和。剖析求曲线方程需先定型再定量。此解法没有正确确定双曲线的类型，也没有把握椭圆与双曲线的基本量的等量关系，椭圆中，而双曲线中满足。因为椭圆的焦点为在轴上，椭圆在轴上的顶点是，所以双曲线的焦点也在轴上，不
6、妨设设双曲线的方程为，所以，故双曲线的方程为。变式7椭圆经过点，且长轴是短轴的3倍，则椭圆的标准方程为。答案或。八、忽视几何特性致错例8（2014湖北）直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则_.错解因为单位圆的圆心到直线的距离为，所以，则，同理，故。剖析本题解答不能借助于平面几何知识加以分析，没有正确理解两条直线将圆分成长度相等的四段弧时的几何特性。依题意得，圆心O到两直线，的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即，得，故。变式8若圆与圆相切，则的值为。A. B. C.3或5 D.或答案圆与圆相切可能是外切，也可能是内切，正确答案为D.变式9 已知集合，其中，若中有且只有一个元素，则的值为。答案4
7、或6.九、思维的不严谨致错例9已知双曲线，过点的直线与双曲线交于，试问是否存在线段的中点在直线上？如果存在，求出相应的值；如果不存在，请说明理由。错解设，直线为，代入双曲线得：，由题意知，因为，所以，即或，故直线为或时，线段的中点在直线上。剖析本题解答有如下的缺陷：1、过点的直线设为忽视了直线的斜率不存在的情形；2、过点的直线适宜设为（不含水平直线），可以减少运算量；3、直线的方程代入双曲线后的方程的判别式应有限制条件。设，直线为，代入双曲线得：，由题意知，因为，即，所以，所以，即，所以或（舍），故直线为时，线段的中点在直线上。变式10方程表示什么曲线？答案 （1）当时，表示焦点在轴上的双曲线；（2）当时，表示两条相交直线；（3）当时，表示焦点在轴上的双曲线；（4）若时，表示焦点在轴上的椭圆；（5）若时，表示圆；（6）若时，表示焦点在轴上的椭圆；（7）当时，表示焦点在轴上的双曲线
