1、第9讲函数性质的综合问题 考点1 函数的单调性与奇偶性综合问题名师点睛函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响 典例1（2022全国高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是（）ABCD【答案】C【解析】因为是定义在上的
2、奇函数，则，因为，则.因为函数在上为增函数，则函数在上也为增函数.当时，由可得，则；当时，由可得，则.综上所述，不等式的解集为.故选：C.2（2022天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数在区间单调递增，且，则（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，又由函数在区间单调递增，可得在区间单调递减，根据对数函数的性质，可得，即，又因为，且，所以，即.故选：D.举一反三1（2022辽宁沈阳市第一二中学高三阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，则当时，的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】解：当时，易知当时，因为，所以，所以当时，；当时，综上，当时，故选：D2（
3、2022全国高三专题练习）已知函数对于任意、，总有，且当时，若已知，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】令，则，对任意的、，总有，则，令，可得，可得，令时，则由，即，当时，即，任取、且，则，即，即，所以，函数在上为增函数，且有，由，可得，即，所以，所以，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.3（2022全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减，所以在单调减，且若函数，当时，此时无解；当时，可得，此时无解；当时，可得，此时成立；当时，可得，所以，所以当时，满足不等式，令，可得函
4、数的定义域为，且，所以函数奇函数，所以当时，满足不等式成立，综上可得，不等式的解集为.故选：B.4（2022山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为_.【答案】【解析】因为，所以当时，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：. 考点2 函数的周期性与奇偶性综合问题名师点睛周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 典例1（2022全国高三专题练习）设是上的奇函数
5、且满足，当时，则（）ABCD【答案】D【解析】对任意的，即，所以，函数是以为周期的周期函数，由于函数为的奇函数，且当时，因此，.故选：D.2（2022全国高三专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD【答案】C【解析】因为为奇函数，所以；又为偶函数，所以；令，由得：，又，所以，得，令，由得：；令，由得：，所以.得时，结合得，所以函数的周期为，所以.故选：C举一反三1（2022全国高三专题练习）偶函数对于任意实数x，都有成立，并且当时，则（）ABCD【答案】C【解析】由于函数为上的偶函数，则，所以，函数是以为周期的周期函数，当时，所以，故选：C2（2022全国高三专
6、题练习）已知定义域为的函数满足：图象关于原点对称；当时，.若，则（）AB1CD2【答案】B【解析】由可知函数为奇函数，又，故，即函数的周期为3，解得.故选：B.3（2022全国高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，当，时，则（4） 【答案】【解析】定义域为的函数的图象关于原点对称，故为奇函数，当时，当，时，（8）（6）（4）（2）（2），则（4）（2）（2）（2），故答案为： 考点3 函数的奇偶性、周期性与对称性问题名师点睛函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0；偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用典例1（20
7、22全国高三专题练习）已知定义在的函数满足，则下列结论正确的是（）A不是周期函数B是奇函数C对任意，恒有为定值D对任意，有【答案】C【解析】，是周期为4的函数，为偶函数在中，令，有故是定值当时，即为，故D不正确故选：C2（2022全国高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：的图象关于对称；的图象关于对称；在内至少有个零点；若在上单调递增，则它在上也是单调递增其中正确的是（）ABCD【答案】C【解析】因为且是定义在上的奇函数，则，故函数是周期为的周期函数，且，所以，故函数的图象关于对称，错误，正确；由题意可知，因为，令，可得，即，所以，从而，故函数在内至少有个零点，正确；因为，且函
8、数在上单调递增，则函数在上也为增函数，故函数在上也是单调递增，正确.故选：C.3（2022全国高三专题练习）已知是定义域为R的函数，满足，当时，则下列说法正确的是（）的最小正周期为4的图像关于直线对称当时，函数的最大值为2 当时，函数的最小值为ABCD【答案】A【解析】对于，则，即的最小正周期为4，故正确；对于，由知的图像关于直线对称，故正确；对于，当时，在上单调递减，在上单调递增根据对称性可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，则函数在上的最大值为，故正确；对于，根据周期性以及单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的最小值为，故错误. 故选：A举一反三1（2022全国高三专
9、题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ，则方程解的个数为（）ABCD【答案】D【解析】由题意，函数当时，作出函数的图象，如图所示，又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，又由函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，综上可得，函数与的图象有10个交点，即方程解的个数为10.故选：D.2（多选）（2022江苏南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，则（）A是以2为周期的周期函数B点是函数的一个对称中心CD函数有3个零点【答案】BD【解析】依题意，为偶函数，且，有，即关于对称，
10、则，所以是周期为4的周期函数，故A错误；因为的周期为4，关于对称，所以是函数的一个对称中心，故B正确；因为的周期为4，则，所以，故C错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确.故选：BD.3（多选）（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（）A是偶函数BC的图象关于点对称D【答案】ABCD【解析】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；对于选项B：由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期
11、函数，因为，可得，则，所以B正确；又因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；由对任意的，且，都有，可得函数在区间上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.故选：ABCD4（2022全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：函数是周期函数；函数的图象关于点，对称；函数是偶函数；函数在上是单调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】解：对于：函数是周期函数且其周期为3.对对于：是奇函数其图象关于原点对称又函数的图象是由向左平移个单位长度得到.函数的图象关于点，对称，故对.对于：由知，对于任意的，都有，用换，可得：对于任意的都成立