1、第十五节用导数解决生活中的优化问题1.把长100 cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为()A20 cm,80 cm B40 cm,60 cmC50 cm,50 cm D30 cm,70 cm解析：设一段长为x，则另一段长为100x，S22(2x2200x10 000)令S0，得(4x200)0，x50.答案：C2已知一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱的侧面积最大值为()A2r2 B3r2 C4r2 D.r2解析：设圆柱高h, 圆柱底半径x，则(2x)2h2(2r)2； S侧2xh2x，令yS侧2162(x4r2x2)，y0得唯一极值点xr，所以hr
2、. 所以S侧最大值2r2，故选A.答案：A3进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为()A90元 B95元 C100元 D105元解析：设售价为90x元时利润为y，此时售量为40020x.yf(x)(90x)(40020x)(40020x)8020(20x)(10x)，求导得：y20(2x10)，令y0，得x5，所以当x5时，ymax4 500(元)，即售价为95元时获利最大，其最大值为4 500元，故选B.答案：B4用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个
3、大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，当容器的容积最大时，该容器的高为()A8 cm B9 cm C10 cm D12 cm解析：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24)，V(x)12x2552x4 320，由V(x)12x2552x4 3200x246x3600，解得x110，x236(舍去)当0x0；当10x24时，V(x)0，当x10时，V(x)在区间内有唯一极值，且取极大值容器高x10 cm时，容器容积V(x)最大故选C.答案：C5有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假
4、设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度为_解析：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s5，当下端移开1.4 m时，t0，又s (259t2)(92t)，所以s(t0)90.875(m/s)答案：0.875 m/s6在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)解析：右图为圆木的横截面，b2h2d2，bh2b(d2b2)设f(b)b(d2b2)，f(b)3b2d2.令f(b)0，由于b0，bd，且在上f(b)0，在上，f(b)0.函数f(b)在bd处取得极大值，也
5、是最大值，即抗弯强度最大，此时长hd.答案：d7高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元(1)写出月利润y与x的函数关系式(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，可使得该公司的月利润最大？解析：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1x)元/台，月销售量为a(1x2)台，则ya(1x2)，即y1 500a(4x3x24x1)，0x1.(2)由(1)知y1 500a
6、(12x22x4)，令y0，得6x2x20，解得x或x(舍去)当0x0；当x1时，y0.故当x时，y取得最大值此时销售价为6 0009 000(元)故笔记本电脑的销售价为9 000元/台时，该公司的月利润最大8.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点已知AB3米，AD2米(1)设ANx(单位：米)，要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；(2)若x9某商场预计2013年从1月起前x个月顾客对某种商品的需求总量P(x)(单位：件)与月份x的近似关系是：P(x)x(x1)(412x)(x12且xN
7、*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式(2)若第x月的销售量g(x)(xN*)(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)，该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？ (参考数据：e6403)解析：(1)当x1时，f(1)P(1)39；当x2时，f(x)P(x)P(x1)x(x1)(412x)(x1)x(432x)3x(14x)f(x)3x242x(x12，xN*)(2)h(x)q(x)g(x)h(x)(xN*)当1x6时，h(x)0，h(x)在x上单调递增当1x7且xN*时，h(x)maxh(6)3 000.当7x8时，h(x)0，当8x12时，h(x)0，当7x12且xN*时，h(x)maxh(8)3 000.综上所述，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3 000元
