1、2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的虚部（）AiBiC1D12已知集合，则AB=（）A（1，+）B1，+）C（，0（1，+）D0，13已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）=（）A2B0C1D24在区间0，上随机取一个数x，使的概率为（）ABCD5若|+|=|=2|，则向量+与的夹角为（）ABCD6等比数列an中，a1+a2=1，a4+a5=8，则=（）A8B4C2D47如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数例如3.27=3，0.6
2、=0那么“x=y”是“|xy|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8若实数x，y满足时，z=x+y的最小值为（）A4B3C2D无法确定9把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD10根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A0B3C6D1211若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为（）ABCD12已知函数f（x）的导函数f（x）=2+sinx，且f（0）=1，数列an是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+
3、f（a4）=3，则=（）A2016B2015C2014D2013二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13为贯彻落实教育部等6部门关于加快发展青少年校园足球的实施意见，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定举行秋季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，得到茎叶图如下：这20名学生的身高中位数、众数分别为14函数的单调递增区间为15为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5m44.56及y关于t的线性回归方程，则实验数据中m的值为1
4、6已知x，yR，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a，c），=（12cosA，2cosC1），（）若b=5，求a+c值；（）若，且角A是ABC中最大内角，求角A的大小18（12分）已知各项为正数的数列an的前Sn，满足（）求证：an为等差数列，并求an；（）设，求数列bn的前n项和为Tn19（12分）11月11日在某购物网站消费不超过10000元的2000名网购者中有女士1100名，男士900名该网站为优化营销策略，根据性别采
5、用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析得到下表（消费金额：元）女士消费情况：消费金额（0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数1025 35 35x男士消费情况：消费金额（0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数1530 25y3（）计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（）若消费金额不低于6000元的网购者为“网购达人”，低于6000元的网购者为“非网
6、购达人”，根据以上数据填写下面22列连表，并回答能否在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”？女士男士总计网购达人非网购达人总计附：P（K2k0）0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.87920（12分）已知函数，其中a，b，cR（）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（）若a=0，且当x1时，f（x）1总成立，求实数b的取值范围21（12分）已知函数f（x）=x2sinx（）求函数f（x）在0，的最值；（）若存在，不等式f（x）ax成立，求实数a的取值范围选作题22（10分）已知函数f（x）=|xa|2（）若
7、a=1，求不等式f（x）+|2x3|0的解集；（）若关于x的不等式f（x）|x3|恒成立，求实数a的取值范围选作题23（）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（）已知a2+b2+c22a2b2c=0，求证：2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的虚部（）AiBiC1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=1i的虚部为1故选：D【点评】本
8、题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合，则AB=（）A（1，+）B1，+）C（，0（1，+）D0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题；函数思想；定义法；集合【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合，A=x|x0或x1，B=y|y1，AB=（1，+）故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用3已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，则f（1）=（）A2B0C1D2【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇函数的性质，f（1）=f（1），即可求得答案【解答】解：函数f（x）为奇函
9、数，x0时，f（x）=x2+，f（1）=f（1）=2，故选A【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题4在区间0，上随机取一个数x，使的概率为（）ABCD【考点】几何概型【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：0x，x，区间长度为，则对应的概率P=，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键5若|+|=|=2|，则向量+与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】作，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=由|
10、+|=|=2|，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出【解答】解：作，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=|+|=|=2|，四边形OACB为矩形，=，向量+与的夹角为故选：B【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6等比数列an中，a1+a2=1，a4+a5=8，则=（）A8B4C2D4【考点】等比数列的性质【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列【分析】可设an的公比为q，利用a1+a2=1，a4+a5=8，可求得q，从而可求得a5+a6与a7+a8【解答】解：设an的公比为q，a1
11、+a2=1，a4+a5=q3（a1+a2）=8，q=2，a5+a6=q（a4+a5）=16，a7+a8=q3（a4+a5）=64，=4故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式，重点是考查学生对等比数列性质的灵活应用的能力，属于基础题7（2010崇文区一模）如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数例如3.27=3，0.6=0那么“x=y”是“|xy|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】阅读型【分析】先根据x的定义可知，x=y|xy|1，而取x=1.9，y=2.1，此时满足|xy|=0.21，但xy，根据若pq为真命题且q
12、p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可【解答】解：x=y1xy1即|xy|1而取x=1.9，y=2.1，此时|xy|=0.21，而x=1，y=2，xy“x=y”是“|xy|1”的充分而不必要条件故选A【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系8
13、若实数x，y满足时，z=x+y的最小值为（）A4B3C2D无法确定【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；不等式【分析】由题意作出其平面区域，将z=3x+y化为y=3x+z，z相当于直线y=3x+z的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出的平面区域：将z=x+y化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由，可得，即B（2，0）当直线y=x+z经过B时，z有最小值，此时z的最小值2+0=2；故选：C【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题9（2016德州二模）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向
14、右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD【考点】正弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选A【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视一般地，y=Asin（x+）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值10（2016怀化二模）根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=3
15、0，则输出m的值为（）A0B3C6D12【考点】程序框图【专题】计算题；操作型；算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答11若（，）且3cos2=4sin
16、（），则sin2的值为（）ABCD【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件化简可得 3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，从而解得sin2的值【解答】解：（，），且3cos2=4sin（），3（cos2sin2）=4（cossin），化简可得：3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，解得：sin2=，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题12（2016上饶二模）已知函数f（x）的导函数f（x）=2+sinx，且f（0）=1，数列an是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3
17、，则=（）A2016B2015C2014D2013【考点】等差数列的通项公式；导数的运算【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】函数f（x）的导函数f（x）=2+sinx，可设f（x）=2xcosx+c，利用f（0）=1，可得：f（x）=2xcosx由数列an是以为公差的等差数列，可得an=a2+（n2）由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3，化简可得6a2=利用单调性可得a2，即可得出【解答】解：函数f（x）的导函数f（x）=2+sinx，可设f（x）=2xcosx+c，f（0）=1，1+c=1，可得c=0f（x）=2xcosx数列an是以为公差的等差数列，a
18、n=a1+（n1），f（a2）+f（a3）+f（a4）=3，2（a2+a3+a4）（cosa2+cosa3+cosa4）=3，6a2+cosa2=3，6a2=令g（x）=6xcos，则g（x）=6+sin在R上单调递增，又=0a2=则=2015故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13为贯彻落实教育部等6部门关于加快发展青少年校园足球的实施意见，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定举行秋季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学
19、生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，得到茎叶图如下：这20名学生的身高中位数、众数分别为177，178【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计【分析】由茎叶图得这20名学生的身高从小到大依次排列，能求出这20名学生的身高的中位数和众数【解答】解：由茎叶图得这20名学生的身高从小到大依次为：168，174，174，175，175，175，175，176，176，176，178，178，178，178，178，182，185，185，185，188位于中间的两个数是176和178，这20名学生的身高的中位数是：=177，出现次数最多的是178，这20名学生的
20、身高的众数为178故答案为：177，178【点评】本题考查中位数、众数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用14函数的单调递增区间为【考点】正弦函数的单调性【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），令2kx+2k+，kZ，即可解得单调递增区间【解答】解：=sinx+sinx+cosx=sin（x+），令2kx+2k+，kZ，解得：2kx2k+，kZ，函数的单调递增区间为：故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于
21、基础题15为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5m44.56及y关于t的线性回归方程，则实验数据中m的值为3【考点】线性回归方程【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值【解答】解：=5，=，这组数据的样本中心点是（5，），关于y与x的线性回归方程，=0.8550.25，解得m=3，m的值为3故答案为3【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并
22、且题目所用的原理不复杂，是一个好题16已知x，yR，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为4【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；综合法【分析】将x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）24xy，利用基本等式的性质，即可求解【解答】解：由题意x2+2xy+4y2=（x+2y）22xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，（x+2y）24x2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号则：2xy+68xy解得：xy1z=x2+4y2=（x+2y）24xy8xy4yx=4所以z=x2+4y2的最小值为4故答案为
23、：4【点评】本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a，c），=（12cosA，2cosC1），（）若b=5，求a+c值；（）若，且角A是ABC中最大内角，求角A的大小【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解（）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值
24、，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值【解答】（本大题满分12分）解：（）因为：，所以，2sinAcosCsinA=sinC2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10.6分（），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（AB），则，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，.12分【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定
25、理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）已知各项为正数的数列an的前Sn，满足（）求证：an为等差数列，并求an；（）设，求数列bn的前n项和为Tn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】综合题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（）由已知数列递推式可得，进一步得到（n2），两式作差可得anan14=0，求出数列首项，代入等差数列通项公式得答案；（）把an的通项公式代入，由裂项相消法求数列bn的前n项和为Tn【解答】（）证明：由，得，n2时，（n2），两式作差得：（an+an1
26、）（anan14）=0，又数列an各项为正数，anan14=0，即数列an为等差数列又n=1时，a1=2，通项公式为an=4n2；（），【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题19（12分）11月11日在某购物网站消费不超过10000元的2000名网购者中有女士1100名，男士900名该网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析得到下表（消费金额：元）女士消费情况：消费金额（0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数1025 35 35x男士
27、消费情况：消费金额（0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数1530 25y3（）计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（）若消费金额不低于6000元的网购者为“网购达人”，低于6000元的网购者为“非网购达人”，根据以上数据填写下面22列连表，并回答能否在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”？女士男士总计网购达人非网购达人总计附：P（K2k0）0.100.050.0250.010.005k02.706
28、3.8415.0246.6357.879【考点】独立性检验【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计【分析】（）根据分层抽样方法求出x、y的值，利用组合数计算基本事件数，即可求得相对应的概率；（）列出22列联表，计算得观测值K2，对照表中数据，即可判断结论是否成立【解答】解：（）根据题意，样本中应抽取女士200=110人，男士200110=90人；x=110（10+25+35+35）=5，y=90（15+30+25+3）=17；消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者有女士5人，男士3人，从中任选2名，基本事件为=28种，其中选出的2名都是男士的基本事件为3种，所求的概率为；（）女
29、士男士总计网购达人402060非网购达人7070140总计11090200可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，考查22列联表的应用问题，考查学生的计算能力，属于中档题20（12分）已知函数，其中a，b，cR（）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（）若a=0，且当x1时，f（x）1总成立，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用【分析】（）通过a=b=1，函数f（x）的导函数，利用导函数的符号，判断函数的
30、单调性，求解函数的单调区间；（）当x1时，f（x）1总成立，转化为bx+10在x1恒成立，推出b0，即证明在x1时恒成立，设，求出导函数，函数的最值即可推出结果【解答】解：（），f（x）0x0或x1；f（x）00x1函数f（x）在（，0），（1，+）单调递增，在（0，1）单调递减（）当x1时，f（x）1总成立，即当x1时恒成立，因为ex0，所以bx+10在x1恒成立，所以b0所以只需x1时exbx+1恒成立，需在x1时恒成立，设，则，x1时，所以在1，+）单调递增，x1时，g（x）g（1）=e1，所以be1，综上0be1【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考
31、查转化思想以及构造法的应用，开心分析问题解决问题的能力21（12分）已知函数f（x）=x2sinx（）求函数f（x）在0，的最值；（）若存在，不等式f（x）ax成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】压轴题；存在型；综合法；导数的综合应用【分析】（1）对f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性，即可求出最值；（2）存在，x2sinxax成立，设g（x）=f（x）ax=x2sinxax，根据g（x）导函数判断g（x）的单调性即可；【解答】（1）f（x）=1cos2x，0，时；函数f（x）在单调递减，在单调递减增x0，时，f（0）=0，f（）=，fmax（x）=f（）=
32、；（2）存在，不等式f（x）ax成立；存在，x2sinxax成立；设g（x）=f（x）ax=x2sinxax，则g（0）=0且g（x）=1a2cosx时，12cosx（1，1）；所以g（x）=1a2cosx（1a，1a）；若1a0，即a1时，g（0）=1a0；因为g（x）=1a2cosx在单调递增，所以存在区间，使x（0，t）时，g（x）0，所以g（x）在（0，t）单调递减，x（0，t）时，g（x）0 即f（x）ax；所以：a1【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性与最值，以及构造函数的应用，属中等题选作题22（10分）已知函数f（x）=|xa|2（）若a=1，求不等式f（x）+|2x
33、3|0的解集；（）若关于x的不等式f（x）|x3|恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】（）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可（）设f（x）=|xa|x3|a3|，转化不等式为a的不等式，求解即可【解答】（本大题满分10分）解：（）函数f（x）=|xa|2若a=1，不等式f（x）+|2x3|0，化为：|x1|+|2x3|2当x时，3x6解得x2，当x（1，）时，可得x+22，不等式无解；当x1时，不等式化为：43x2，解得x不等式的解集为：5（）关于x的不等式f（x）|x3|恒成立，可得|
34、xa|2|x3|设f（x）=|xa|x3|，因为|xa|x3|a3|，所以，f（x）max=|a3|即：|a3|2所以，a的取值范围为（1，5）10【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题选作题23（）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（）已知a2+b2+c22a2b2c=0，求证：【考点】不等式的证明【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式【分析】（）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（）由柯西公式（a1）2+（1b）2+（1c）2（4+1+1）2（a+1）+（1b）+（1c）2，即可证明结论【解答】（）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）（2x+3y）2，则|2x+3y|，2x+3y（）证明：由a2+b2+c22a2b2c=0，得（a1）2+（1b）2+（1c）2=3，由柯西公式（a1）2+（1b）2+（1c）2（4+1+1）2（a+1）+（1b）+（1c）2得证：18（2abc）2，所以【点评】本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题