1、第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题1.(2020山东泰安三模,21)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线AB的距离为255,OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线lAB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.解:(1)直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,则aba2+b2=255.因为三角形OAB的面积为1,所以12ab=1,即ab=2,解得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)直线AB的斜率为-12,设直线l的方程为y=-12x
2、+t,C(x1,y1),D(x2,y2),把方程y=-12x+t与x24+y2=1联立,消去x,整理得2y2-2ty+t2-1=0,=(-2t)2-42(t2-1)=8-4t20,即t2b0)的离心率为12,并且经过点P(0,3).(1)求椭圆C的方程;(2)设过点P的直线与x轴交于N点,与椭圆的另一个交点为B,点B关于x轴的对称点为B,直线PB交x轴于M,求证:|OM|ON|为定值.(1)解由已知ca=12,3b2=1,a2=b2+c2,解得b2=3,a2=4,所以椭圆C:x24+y23=1.(2)证明证法1由已知直线PB的斜率存在,以下给出证明:由题意,设直线PB的方程为y=kx+3(k0
3、),P(0,3),B(x1,y1),则B(x1,-y1).由3x2+4y2=12,y=kx+3,得(3+4k2)x2+83kx=0,x1=-83k3+4k2,y1=-83k23+4k2+3,所以B-83k3+4k2,-83k23+4k2+3,即B-83k3+4k2,-43k2+333+4k2,B-83k3+4k2,43k2-333+4k2,直线PB的方程为y-43k2-333+4k2=34kx-83k3+4k2,令y=0,得x=(-43k2-33)4k3(3+4k2),所以M(-43k2-33)4k3(3+4k2),0,令y=0,由y=kx+3得x=-3k,所以N-3k,0,所以|OM|ON|
4、=(-43k2-33)4k3(3+4k2)-3k=4.证法2设B(x0,y0),B(x0,-y0),则x024+y023=1,则直线PB的方程为y-3=3-y0-x0(x-0),令y=0,x=3x03-y0,所以N3x03-y0,0.同理M3x03+y0,0,所以|OM|ON|=3x03+y03x03-y0=3x023-y02,因为x024+y023=1,所以3x02+4y02=12,所以|OM|ON|=3x023-y02=12-4y023-y02=4.4.(2019全国,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求
5、M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解:(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MOAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简
6、得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.5.(2021安徽池州4月模拟,文20)已知平面直角坐标系内动点P到点M(-1,0)的距离比它到直线x=2的距离少1.记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知A,B两点在曲线C上,满足OAOB=-4,直线AB是否经过定点?若经过定点,求M(-1,0)到直线AB距离的最大值;否则,请说明理由.解:(1)由题意知,点P到点M(-1,0)的距离与它到直线x=1的距离相等,故
7、点P的轨迹是以M(-1,0)为焦点,以x=1为准线的抛物线,则p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x.(2)由于A,B两点在曲线C上,则直线AB不平行于x轴,设AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).由x=my+n,y2=-4x,消去x,整理,得y2+4my+4n=0,=16m2-16n0,即m2-n0,y1+y2=-4m,y1y2=4n.所以x1x2=-y124-y224=n2,而OAOB=x1x2+y1y2=n2+4n,所以n2+4n=-4,得n=-2.因此直线AB:x=my-2,故直线AB经过定点N(-2,0),点M(-1,0)到直线AB距离的最大值为|MN|=1.6.(
8、2021山西太原二模,文21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是点A,B,直线l:x=23与椭圆C相交于D,E两个不同的点,直线DA与直线DB的斜率之积为-14,ABD的面积为423.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P是直线l:x=23的一个动点(不在x轴上),直线AP与椭圆C的另一个交点为Q,过P作BQ的垂线,垂足为M,在x轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值,若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设D23,y0,由题意得kDAkDB=y023+ay023-a=-14,122a|y0|=423,49a2+y02b2=1,解得a2=4,b2=1,椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)假设存在这样的点N,设直线PM与x轴相交于点T(x0,0),由题意得TPBQ,由(1)得B(2,0),设P23,t,Q(x1,y1),由题意可设直线AP的方程为x=my-2(m0),由x=my-2,x24+y2=1得(m2+4)y2-4my=0,0显然成立,y1=4mm2+4或y1=0(舍去),x1=2m2-8m2+4,23=mt-2,t=83m,TPBQ,TPBQ=23-x0(x1-2)+ty1=0,x0=23+ty1x1-2=23+83m4mm2+4m2+4-16=0,直线PM过定点T(0,0).存在定点N(1,0),使得|MN|=1.
