1、单元质检卷九 解析几何(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2019 山西芮城模拟,6)点 P(2,3)到直线 l:ax+y-2a=0 的距离为 d,则 d 的最大值为()A.3B.4C.5D.72.(2019 云南师范大学附中模拟,8)直线 l 与双曲线 x2-22=1 交于 A,B 两点,以 AB 为直径的圆 C 的方程为 x2+y2+2x+4y+m=0,则 m=()A.-3B.3C.5-22D.223.(2019 湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l
2、与抛物线 C 交于 A、B 两点,且直线 l 与圆 x2-px+y2-34p2=0 交于 C、D 两点.若|AB|=2|CD|,则直线 l 的斜率为()A.22B.32C.1D.24.(2019 江西名校(临川一中、南昌二中)2019 联考,7)阿波罗尼斯(约公元前 262190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 k(k0,k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 A、B 间的距离为 2,动点 P 满足|=2,当 P、A、B 不共线时,三角形 PAB 面积的最大值是()A.22B.2C.223D.235.设 F1、F2是双曲线 C:22 22=1(a0,
3、b0)的左、右焦点,A 为左顶点,点 P 为双曲线 C 右支上一点,|F1F2|=10,PF2F1F2,|PF2|=163,O 为坐标原点,则 =()A.-293B.163C.15D.-156.若直线 2x+y-4=0,x+ky-3=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.114B.554C.4120D.57.(2019 山东青岛调研,11)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 C 上一点,PQ 垂直 l 于点Q,M,N 分别为 PQ,PF 的中点,直线 MN 与 x 轴相交于点 R,若NRF=60,则|FR|等于()A.12B.1C.2D.48.
4、(2019 福建宁德质检,8)如图,点 F 是抛物线 C:x2=4y 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 C 和圆 x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 y 轴,则AFB 周长的取值范围是()A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)9.(2019 黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆 E:22+22=1(ab0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1作垂直 x 轴的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上方.若|AB|=3,ABF2的内切圆的面积为916,则直线AF2的方程是()A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=
5、0D.3x+4y-3=010.已知点 A 是抛物线 x2=4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.2+12B.2+1C.5-12D.5-111.(2019 四川南充三模,8)已知直线 x+y=1 与椭圆22+22=1(ab0)交于 P,Q 两点,且 OPOQ(其中O 为坐标原点),若椭圆的离心率 e 满足33 e22,则椭圆长轴的取值范围是()A.5,6B.52,62C.54,32D.52,312.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在
6、以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若=+,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,当AOB 的面积取最小值时,直线 l 的方程为 .14.(2019 河北唐山摸底)已知直线 l:kx-y-k+2=0 与圆 C:x2+y2-2y-7=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 .15.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,过点 F 斜率为3的直线 l与抛物线 C 交于点 M(M在 x 轴的上方),过
7、 M 作 MNl 于点 N,连接 NF 交抛物线 C 于点 Q,则|=.16.(2019 四川成都棠湖中学开学考试,16)已知 F 是椭圆 C:225+216=1 的右焦点,P 是椭圆上一点,A0,365,当APF 周长最大时,该三角形的面积为 .三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分)17.(14 分)(2019 安徽滁州模拟,18)已知圆 O:x2+y2=r2(r0)与直线 3x-4y+15=0 相切.(1)若直线 l:y=-2x+5 与圆 O 交于 M,N 两点,求|MN|;(2)已知 A(-9,0),B(-1,0),设 P 为圆 O 上任意一点,证明:|为定值.18.(14 分)
8、(2019 河南洛阳模拟,20)已知椭圆22+22=1(ab0)的离心率 e=33,左、右焦点分别为 F1,F2,且 F2与抛物线 y2=4x 的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过 F1的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2的直线交椭圆于 A,C 两点,且 ACBD,求|AC|+|BD|的最小值.19.(14 分)(2019 湖南益阳,20)已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,点 M(2,m)(m0)在抛物线上,且|MF|=2.(1)求抛物线 C 的方程;(2)若点 P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为 l0,过点 F 作切线 l0的垂线,垂足为 Q,则点
9、 Q 是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.20.(14 分)(2019 江西宜春模拟,20)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的离心率为32,点-3,12 在椭圆上,A,B 分别为椭圆 C 的上、下顶点,点 M(t,2)(t0).(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 MA,MB 与椭圆 C 的另一交点分别为 P,Q,证明:直线 PQ 过定点.21.(14 分)(2019 河北衡水模拟,20)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为13,点 P 在椭圆 C 上,且PF1F2的面积的最大值为 22.(1)求椭圆 C 的方程;(2)已知
10、直线 l:y=kx+2(k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,若在 x 轴上存在点 G,使得|GM|=|GN|,求点G 的横坐标的取值范围.参考答案 单元质检卷九 解析几何1.A 直线方程即 y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点 M(2,0),当直线 lPM 时,d 有最大值,结合两点之间距离公式可得 d 的最大值为(2-2)2+(3-0)2=3.故选 A.2.A 设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据圆的方程可知 C(-1,-2),C 为 AB 的中点,根据双曲线中点差法的结论 kAB=22 00=21 -1-2=1,由点斜式可得直线 AB 的方程为 y=x-1,将直线 AB
11、方程与双曲线方程联立2-22=1,=-1,解得=-3,=-4,或 =1,=0,所以|AB|=42,由圆的直径|AB|=2+2-4=22+42-4=42,可解得 m=-3,故选 A.3.C 由题设可得 x-22+y2=p2,故圆心在焦点上,故 CD=2p,AB=4p,设直线 l 的方程为x=ty+2,设 A(x1,y1)B(x2,y2)代入 y2=2px(p0)得 y2-2pty-p2=0,所以 y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则AB=(1+2)(422+42)=2p(1+t2)=4p,即 1+t2=2,解得 t=1.故选 C.4.A 以经过 A,B 的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平
12、分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设 P(x,y),|=2,(+1)2+2(-1)2+2=2,两边平方并整理得 x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,当点 P 到 AB(x 轴)的距离最大时,三角形 PAB 的面积最大,此时面积为12 222=22,故选A.5.D 由题得2+2=25,2=163,a=3,b=4.所以双曲线的方程为29 216=1,所以点 P 的坐标为 5,163或 5,-163,所以 =(-3,0)5,163=-15.故选 D.6.C 圆的内接四边形对角互补,因为 x 轴与 y 轴垂直,所以 2x+y-4=0 与 x+ky-3=
13、0 垂直.所以 21+1k=0,解得 k=-2,直线 2x+y-4=0 与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x-2y-3=0 与坐标轴的交点为 0,-32,(3,0),两直线的交点纵坐标为-25.所以四边形的面积为12 3 32 12 1 25=4120,故选 C.7.C M,N 分别是 PQ,PF 的中点,MNFQ,且 PQx 轴,NRF=60,FQP=60,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,FQP 为正三角形,则 FMPQQM=p=2,正三角形边长为 4,PQ=4,FN=12PF=2,又可得FRN 为正三角形,FR=2,故选 C.8.B 抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1),准线方
14、程为 y=-1,圆(y-1)2+x2=4 的圆心为(0,1),与抛物线的焦点重合,且半径 r=2,|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB-yA,三角形 ABF 的周长=2+yA+1+yB-yA=yB+3,1yB0,化为 a2+b21.则 x1+x2=222+2,x1x2=2-222+2.OPOQ,=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,2 2-222+2 222+2+1=0.化简得 a2+b2=2a2b2.b2=222-1.椭圆的离心率 e 满足33 e22,13 e2 12,13 2-22 12,13 1-122-1 12,化为
15、 54a26,解得5 2a 6.满足 0.椭圆长轴的取值范围是5,6.故选 A.12.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,1),B(0,0),D(2,1).设 P(x,y),圆 C 的半径为 r,由|BC|CD|=|BD|r,得 r=|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).由=+,得=2,-1=-,所以=2,=1-y,所以+=12x-y+1.设 z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心 C 到直线12x-y+1-z=0 的距离 dr,即|2-|14+
16、1 255,解得 1z3,所以 z 的最大值是 3,即+的最大值是 3,故选 A.13.2x+3y-12=0 方法 1:易知直线 l 的斜率 k 存在且 k0,则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k0,b0),将点 P(3,2)代入得3+2=12 6,即ab24,当且仅当3=2,即 a=6,b=4 时等号成立,又 SAOB=12ab,所以当 a=6,b=4 时AOB的面积最小,此时直线 l 的方程为6+4=1,即 2x+3y-12=0.14.26 kx-y-k+2=0,化为 y-2=k(x-1),直线过定点 E(1,2),E(1,2)在圆 x2+y2-2y-7=0 内,当 E是 AB
17、中点时,|AB|最小,由 x2+y2-2y-7=0 得 x2+(y-1)2=8,圆心 C(0,1),半径22,|AB|=28-|2=28-2=26,故答案为 26.15.2 由抛物线定义可得 MF=MN,又斜率为3的直线 l倾斜角为3,MNl,所以NMF=3,即三角形 MNF 为正三角形,因此 NF 倾斜角为23,由2=2,=-3(-2),解得 x=6或x=32(舍),即 xQ=6,|=6-(-2)2-6=2.16.1445 由225+216=1 得右焦点 F(3,0),左焦点 F(-3,0),APF 周长|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF|10+(|AF|+|AF
18、|),当 A,P,F共线时APF 周长最大,此时直线 AF方程为-3+365=1,与225+216=1 联立,解得 yP=-125,可得 SAPF=12|FF|(yA-yP)=12 6 365+125=1445,故答案为1445.17.(1)解 由题意知,圆心 O 到直线 3x-4y+15=0 的距离 d=159+16=3,圆 O 与直线相切,r=d=3,圆 O 方程为 x2+y2=9.圆心 O 到直线 l:y=-2x+5 的距离 d1=54+1=5,|MN|=29-12=4.(2)证明 设 P(x0,y0),则02+02=9,|=(0+9)2+02(0+1)2+02=02+180+81+02
19、02+20+1+02=180+9020+10=3,即|为定值 3.18.解(1)抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),所以 c=1,又因为 e=1=33,所以 a=3,所以 b2=2,所以椭圆的标准方程为23+22=1.(2)(i)当直线 BD 的斜率 k 存在且 k0 时,直线 BD 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程23+22=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-6232+2,x1x2=32-632+2,|BD|=1+2|x1-x2|=(1+2)(1+2)2-412=43(2+1)32+2.易知 AC
20、的斜率为-1,所以|AC|=43(12+1)3 12+2=43(2+1)22+3.所以|AC|+|BD|=43(k2+1)132+2+122+3=203(2+1)2(32+2)(22+3)203(2+1)2(32+2)+(22+3)22=203(2+1)225(2+1)24=1635.当 k2=1,即 k=1 时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为1635.(ii)当直线 BD 的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=1033 1635.综上,|AC|+|BD|的最小值为1635.19.解(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+2=2,又 M(2,m)在抛物线上,所以 2pm=
21、4,由联立解得 p=2,m=1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)当 x0=0,即点 P 为原点时,易知点 Q 在直线 y=0 上;当 x00,即点 P 不在原点时,由(1)得,x2=4y,则 y=12x,所以在点 P 处的切线的斜率为12x0,所以在点 P 处的切线 l0的方程为 y-y0=12x0(x-x0),又02=4y0,所以 y=12x0 x-y0.又过点 F 与切线 l0垂直的方程为 y-1=-20 x,联立方程=12 0-0,-1=-20,消去 x,得 y=-14(y-1)02-y0.(*)因为02=4y0,所以(*)可化为 y=-yy0,即(y0+1)y=0,由 y0
22、0,可知 y=0,即垂足 Q 必在 x 轴上.所以点 Q 必在直线 y=0 上,综上,点 Q 必在直线 y=0 上.20.(1)解 由题意知 =32,32+142=1,2=2+2,解得=2,=1,=3,所以椭圆 C 的方程为24+y2=1.(2)证明 易知 A(0,1),B(0,-1),则直线 MA 的方程为 y=1x+1,直线 MB 的方程为 y=3x-1.联立=1 +1,24+2=1,得42+1 x2+8x=0,于是 xP=-82+4,yP=2-42+4,同理可得 xQ=242+36,yQ=36-22+36,又由点 M(t,2)(t0)及椭圆的对称性可知定点在 y 轴上,设为 N(0,n)
23、,则直线 PN 的斜率 k1=2-42+4-82+4,直线 QN 的斜率 k2=36-22+36-242+36,令 k1=k2,则2-42+4-82+4=36-22+36-242+36,化简得2-4-(2+4)-8=36-2-(2+36)24,解得 n=12,所以直线 PQ 过定点 0,12.21.解(1)由已知得 =13,12 2 =22,2=2-2,解得 a2=9,b2=8,c2=1,椭圆 C 的方程为29+28=1.(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 E(x0,y0),点 G(m,0),使得|GM|=|GN|,则 GEMN.由=+2,29+28=1,消 y 得(8+9k2)x2+36kx-36=0,由 0,得 kR.x1+x2=-3692+8,x0=-1892+8,y0=kx0+2=1692+8.GEMN,kGE=-1,即1692+8-0-1892+8-=-1,m=-292+8=-29+8.当 k0 时,9k+8 29 8=122 当且仅当 9k=8,即 k=223 时,取等号,-212 m0;当 k0 时,9k+8-122 当且仅当 9k=8,即 k=-223 时,取等号,0m212,点 G 的横坐标的取值范围为-212,0 0,212.