1、数学试卷一、单选题1已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）ABCD2设、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列结论正确的个数为（ ）若，则；若，则；若，则；若，则.ABCD3如图，已知平面平面，点P为，外一点，直线PB，PD分别与，相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（ ）A平行B相交C异面D平行或异面4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）A平面PAB平面PAD B平面PAD平面PDCCABPD D平面PAD平面PBC5如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题
2、中错误的是（ ）A B与是异面直线C平面平面 D平面6如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）ABC4D7已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为ABCD8下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）ABCD二、多选题9已知，是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是A若，则B若，则C若，那么D若，那么10如图，在长方体中，M、N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）AA、
3、M、N、B四点共面 B平面平面C与BN所成角 D平面ADM11如图，在三棱锥中，平面，为的中点，则下列结论正确的有（ ）A平面 BC平面 D平面12如图所示，在直角梯形中，分别是上的点，且().将四边形沿折起，连接().在折起的过程中，下列说法中正确的是（ ）A平面 B四点不可能共面C若，则平面平面D平面与平面可能垂直三、填空题13已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_14 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论ABEF； AB与CM所成的角为60； EF与MN是异面直线；MNCD
4、 以上四个命题中，正确命题的序号是 _15 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SESA_时，SC平面EBD16如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为_四、解答题17如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.18如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点
5、.（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离19如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，、分别为、的中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求证：平面.20如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由. 21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2） BEC1E22图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
6、（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.参考答案1C设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.2B对于，若，则、平行、异面或相交，错误；对于，若，则、平行或异面，错误；对于，若，则，又因为，所以，正确；对于，若，则，又因为，所以，正确.故选：B.3A由题意知：在同一平面内，且面面，面面，面面，.4D平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，ADAB，AB平面PADABPD又AB平面PAB，平面PAB平面PAD故A，C正确同理可证平面PAD平面PDC故B正确D显然
7、不正确5D连接，对于A，分别为中点，又，A正确；对于B，平面，平面，平面，直线与为异面直线，B正确；对于C，由A知：，又平面，平面，平面，同理可证：平面，平面，平面平面，C正确；对于D，且，平面，与相交，又平面，与平面相交，D错误.故选：D.6C由题意将侧面与展开，如图：连接，则.7A根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=，高SD=2OO1=，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，考点：棱锥与外接球，体积8C对于，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.对于，连接交于，由于是的
8、中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交.对于，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交.对于，连接，则，由线面平行的判定定理可知平面.综上所述，能得出平面的图形的序号是.9BDA选项中没有说明两条直线是否相交，结论错误，B选项中能推出，所以结论正确，C选项能推出，推不出，结论错误, D选项根据线面平行的性质可知正确,10BC对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，平面，故平面平面，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知为等边三角形，且四边形为矩形，所以与BN所成角，故C正确；对于D，平面，显然BN与平面ADM不
9、平行，故D错误；故选：BC11ABC平面，又，平面，平面，故A正确；由平面，得，又，是的中点，又，平面，平面，故B，C正确；由平面，得，因此与不垂直，从而不与平面垂直，D错误.12ABC选项A中，连接，取的中点，的中点，连接，且，而且，所以且所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面，所以A正确；选项B中，设四点共面，因为，平面，平面，所以平面，而平面，平面平面，所以，所以，这与已知相矛盾，故四点不可能共面，所以B正确；选项C中，连接，在梯形中，易得，又，平面，所以平面而平面，所以，而，平面，且与必有交点，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以C正确；选项D中，延长至，使得，连接，平
10、面，所以平面，而，所以平面，因为平面，所以平面平面，过作于，平面，平面平面，所以平面，若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，故前后矛盾，所以D错误.故选：ABC.13如果l，m，则lm或如果l，lm，则m.将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l，m，则lm. 正确；（2）如果l，lm，则m.正确；（3）如果lm，m，则l.不正确，有可能l与斜交、l.14把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则，与异面，只有正确.15 如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点 因为SC平面EBD，且平面EBD平
11、面SACEO，所以SCEO，所以点E是SA的中点，此时SESA12.16.由题意知当时最小，因为M为PD的中点，故而为的中点，即，设外接球的半径为，则解得.故外接球的表面积为.17(1)连结,为的中点,为等腰直角三角形,则,同理可得, 又,且, , 又,又,.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,而是三棱锥的高,. (3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结. 是的中点, ,且, 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC/AD,且EC=AD,所以EC/GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG/CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG/平面
12、PCD.18（1）连接，分别为，中点 为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.19（），且为的中点，.底面为矩形，；（）底面为矩形，.平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.又，、平面，平面，平面，平面平面；（）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.20（）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（）证明：因为底面是菱
13、形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（）存在点为中点时，满足平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.21（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E. 22(1)证：，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM因此在中，DE=1，故所以四边形ACGD的面积为4.