1、1 数据链接 真题试做 2 数据聚焦 考点梳理 a3 数据剖析 题型突破 第24讲 圆的基本性质 目 录 数据链接 真题试做 命题点 1 垂径定理及其推论 命题点 2 与圆周角有关的计算 垂径定理及其推论 命题点11.(2010河北,6)如图,在55正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点P B.点Q C.点R D.点M返回子目录 B数据链接 真题试做 1 2.(2012河北,5)如图,CD 是O的直径,AB 是弦(不是直径),ABCD 于点E,则下列结论正确的是（）A.AEBEB.=C.D=12AECD.ADECBE返回子目录 D3.(2009河北,2
2、0)如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为点O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CDAB,且CD=24 m,OECD于点E.已测得sinDOE=.返回子目录(1)求半径OD;(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?解:(1)OECD于点E,CD=24 m,ED=CD=12 m.在DOE中,DEO=90,sinDOE=,OD=13 m.返回子目录(2)OE=5(m)50.5=10(h),经过10 h才能将水排干.与圆周角有关的计算 命题点2返回子目录 4.(2009河北,5)如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A,B,O是小正方形的顶点,O的半
3、径为1,P是O上的点,且位于右上方的小正方形内,则APB等于()BA.30B.45C.60D.90返回子目录 5.(2011河北,16)如图,点O为优弧 所在圆的圆心,AOC=108,点D在AB延长线上,BD=BC,则D=.27数据聚焦 考点梳理 考点 1 圆的有关概念及性质 考点 2 弦、弧、圆心角的关系 考点 3 圆周角定理及其推论 考点 4 垂径定理及其推论 圆的有关概念及性质 考点1返回子目录 1.圆的有关概念(1)圆的定义:在一个平面内,到定点的距离 定长的所有点组成的图形,叫做圆.(2)弦:连接圆上任意两点的 叫做弦;经过圆心的弦叫做直径.(3)圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,
4、简称弧;大于半圆的弧叫做 ;小于半圆的弧叫做 .数据聚集 考点梳理 2 等于线段优弧劣弧弦、弧、圆心角的关系 考点2返回子目录 1.圆心角的定义:顶点在圆心的角.2.圆的有关性质(1)对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任何一条 所在直线都是圆的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)的三个点确定一个圆.不在同一直线上直径圆周角定理及其推论 考点3返回子目录 1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 ,相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.3.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应
5、的其余各组量都分别相等.相等也相等返回子目录 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .3.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90的圆周角所对的弦是直径.(2)同弧或等弧所对的圆周角 .4.圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角 .(2)圆内接四边形的任意一个外角 它的内对角(和它相邻的内角的对角).互补等于相等直角一半返回子目录【易错提示】由于圆中一条弦对应两段弧,故若题干中并未明确弦对应哪段弧,而要求圆中一段弦对应的圆周角的度数时,就要分情况讨论,如图所示:（ACB=)(ACB=180-)垂径定理及其推论 考点4返回子目录 1.垂径定理及其推论(1)定理:垂
6、直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.如图,已知CB是直径,AD是弦,CBAD于点E,则AE=,=,=.(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图,已知CB是直径,AD不是直径,AE=DE,则BCAD,=,=.ED返回子目录 2.垂径定理的应用 如图,O的半径OD与弦AB垂直,用r表示圆的半径、a表示弦长、d表示弦心距、h表示弓形高,则有如下公式:(1)r=d+h;(2)r2=12 2+d2=12 2+(r-h)2;(3)sinAOD=,cosAOD=.数据剖析 题型突破 考向 1 弦、弧、圆心角的关系 考向 2 垂径定理及其推论 考向 3 圆周角定理及其
7、推论 弦、弧、圆心角的关系（5年考1次）考向1A.3+=180B.2+=90C.2+=180D.2-=90返回子目录 1.（2021石家庄43中一模)如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧 上(不与点A,点C重合),BD与OA相交于点E.设CBD=,AOD=,则（）B数据剖析 题型突破 3 返回子目录 2.(2021河北中考压轴卷)如图,点A是O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在O上且平分弧BC,则DC的长为()DA.2 B.C.2 D.返回子目录 3.(2021承德模拟)如图,四边形ABCD内接于O,AB=CD,点A为 的中点,BDC=60,则ADB等于 ()AA.4
8、0B.50C.60D.70返回子目录 4.(2021石家庄模拟)如图,AB是O 的直径,点D为O上一点,且ABD=30,BO=4,则 的长为()DA.23B.43C.2 D.83返回子目录 5.(2021河北模拟)如图,已知O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是AOB,COD,若AOB与COD互补,弦CD=6,则弦AB 的长为 ()BA.6B.8 C.5 D.5 返回子目录 6.(2021河北质量检测)如图,已知在O中,半径OA=,弦AB=2,BAD=18,OD与AB交于点C,则ACO=.81在同圆或等圆中,已知等弦、等弧、等圆心角这三组量中的任意一组量时,可利用转化思想将其转化为另外的
9、两组量对应相等,进而寻求解题思路.垂径定理及其推论（5年考0次）考向2返回子目录 1.(2021承德模拟)如图,O的直径为10,弦AB的长为6,点P为弦AB上的动点,则线段OP长的取值范围是()CA.3OP5B.4OP5C.4OP5D.3OP5 返回子目录 2.(2021南充中考)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,CD=2OE,则BCD的度数为()BA.15B.22.5C.30D.45返回子目录 3.(2021唐山模拟)九章算术是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为O的直径,弦ABDC于
10、点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=()A.13寸 B.20寸C.26寸D.28寸 C返回子目录 4.(2021石家庄模拟)如图,点A,B,C,D都在半径为2的O上,若OABC,CDA=30,则弦BC的长为()DA.4B.2 C.D.2 返回子目录 5.(2021河北押题卷)如图所示,在O中,AB为弦,OCAB 交AB于点D,且OD=DC,点P为O上任意一点,连接PA,PB,若O的半径为1,则SPAB 的最大值为()CA.1B.C.D.返回子目录 6.(2021河北模拟)如图,在半径为3的O中,AB是直径,AC是弦,点D是 的中点,AC与BD相交于点E.若点E是BD的中点
11、,则AC的长是()DA.B.3 C.3 D.4 垂径定理在圆的有关证明或计算中有十分重要的作用,常作的辅助线是作圆心到弦的垂线段,结合方程思想,利用圆心到弦的垂线段、弦的一半和半径组成直角三角形来求解.圆周角定理及其推论（5年考0次）考向3返回子目录 1.(2021河北二模)如图,点A,B,C,D 在O上,=,CAD=35,ACD=55,则AOB=()BA.120B.110C.90D.85返回子目录 2.(2021石家庄重点中学联考)如图,AB是O的直径,EF,EB是O的弦,连接OF,若AOF=40,则E 的度数是 ()DA.40B.50C.55D.70返回子目录 3.(2021河北模拟)如图
12、,已知O是正方形ABCD的外接圆,点E是弧AD上任意一点,则BEC的度数为 ()A.30B.45C.60D.90B返回子目录 4.(2021荆州中考)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上.若A(2,0),D(4,0),以点O为圆心,OD长为半径的弧经过点B,交y轴正半轴于点E,连接DE,BE,则BED 的度数是()CA.15B.22.5C.30D.45返回子目录 5.(2021河北模拟)如图,已知AB是O的直径,C,D是O上的点,OCBD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,CBD=36,求 的长.解:(1)证明:AB是O的径,ADB=90.OCBD,AEO=ADB=90,即OCAD.AE=ED.返回子目录 在与圆有关的角度计算中,圆心角和圆周角的关系有非常大的作用,即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)由(1)得OCAD,=,ABC=CBD=36,AOC=2ABC=236=72.的长为5=2.