1、湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2020届高三数学下学期第六次模拟考试试题 理（含解析）时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知（i是虚数单位），则z=（ ）A. -1B. 1C. 0D. i【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则，求得，再由复数的运算性质，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的运算法则，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，意在考查推理与运算能力.2.已知集合 ，则（ ）A B. C. D. 【
2、答案】B【解析】【分析】由得；由得，再通过集合的补集与交集的运算即可得到答案.【详解】解：，或，.故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次不等式、对数函数的定义域、集合的补集与交集的运算，属于基础题.3.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性可得，即可得出结果.【详解】由对数函数底数，故对数函数单调递减，故，；由指数函数底数，故指数函数单调递减，故，；综上所述，.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，对数函数的单调性等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.4.已知直线表示不同的直线，则的充要条件是（ ）A. 存在平
3、面，使B. 存在平面，使C. 存在直线，使 D. 存在直线，使与直线所成角都是【答案】B【解析】【分析】根据充要条件的定义，逐项判断是否能推出选项成立，和选项是否能得出成立，即可得出结果.【详解】A选项，存在平面，使；反之，与可以平行、相交或者异面.故A错误.B选项，存在平面，使；反之，也成立.故B正确.C选项，存在直线，使 ；反之，与可以平行、相交或者异面.故C错误.D选项，存在直线，使与直线所成角都是；反之，与可以平行、相交或者异面.故D错误.故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，充要条件等基本知识，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于一般题目.5.已知袋中有6个除
4、颜色外，其余均相同的小球，其中有4个红球，2个白球，从中任意取出2个小球，已知其中一个为红球，则另外一个是白球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别设“2个球中有一个为红球”为事件,“2个球中有一个为白球”为事件,利用条件概率公式求解即可.【详解】设“2个球中有一个为红球”为事件,“2个球中有一个为白球”为事件,则已知其中一个为红球,则另外一个是白球的概率为,故选:C【点睛】本题考查条件概率,考查组合数的应用.6.已知数列的前n项和为， ，则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，与两式作差，得到，再由累乘法，即可求出
5、通项公式，再检验时，也满足所求通项公式即可.【详解】因为，即，所以，两式作差可得：，整理得：，所以，以上各式相乘得：，因为，所以，又，所以，满足，综上，.故选：A.【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，熟记累乘法求数列的通项即可，属于常考题型.7.函数的图象不可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】变成分段函数后分段求导，通过对分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.【详解】,.(1)当时,图象为A;(2)当时,在上单调递增,令得,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,图象为D;(3)当时,在上单调递减,令得,当时,当时,在上单调递减,在上单调递
6、增,图象为B;故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.8.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，分别计算4个面的面积，即可得到结果.【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，故，该多面体的侧面最大面积为故选：B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.9.已知抛物线的
7、准线为，过的焦点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，若为线段的中点，交于，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质可设直线的方程为，求出点，的坐标，根据中点坐标公式求出的值，再根据斜率求出的坐标，利用点与点的距离公式和三角形的面积公式即可求出【详解】抛物线的准线为，焦点，设直线的方程为，由，解得，为线段的中点，将点坐标代入，可得，解得，不妨令，设，解得，故选：B【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系，考查了直线的斜率和两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.10.已知函数，在上有且仅有2个实根，则下面4个结论：在区间上有
8、最小值点；在区间上有最大值点；的取值范围是；在区间上单调递减.所有正确结论的编号为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意作出函数示意图，结合图象确定最值取法、的取值范围以及对应区间单调性.【详解】先作图象，令，由上有且仅有2个实根，得所以，所以在区间上单调递减由图可知，在区间上有最小值点，不一定有最大值点故选：C【点睛】本题考查余弦函数图象与性质，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.11.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
9、【分析】分析题意可知,函数与函数在区间上同增或者同减,则根据同增和同减两种情况对函数进行分情况讨论即可.【详解】函数在上单调递减,函数在上单调递增,若区间为函数的“稳定区间”,则函数与函数在区间上同增或者同减,若两函数在区间上单调递增,则在区间上恒成立,即,所以;若两函数在区间上单调递减,则在区间上恒成立,即,不等式无解;综上所述:,故选:C.【点睛】本题主要考查指数函数单调性的综合应用,考查学生的分析理解能力,属于中档题.12.已知函数有且只有三个零点，则属于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】有且仅有三个不同零点等价于与有且仅有三个不同交点，数形结合知当与相切时，满足题
10、意，利用导数的几何意义可得，进一步得到，所以，再求出的范围即可得到答案.【详解】由已知，有且仅有三个不同零点等价于方程有且仅有三个不同实根，等价于与有且仅有三个不同交点，如图当与相切时，满足题意，因为，所以，且，消a得由诱导公式，有，又，所以.故选：D【点睛】本题考查已知函数的零点个数求范围问题，涉及到导数的几何意义，考查学生数形结合的思想，转化与化归思想，是一道有一定难度的题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.展开式中，的系数等于_【答案】15【解析】6的通项为Tr1C6r6rrC6r(1)rx6ryr3，令6r3，得r2，r30，故x3的系数为C62(1)215.14.
11、设点分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为_【答案】【解析】【详解】显然，所以由是等腰三角形得设双曲线的一条渐近线方程为，可得，可得，化简为，解得（舍去）.故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和等腰三角形的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题.15.在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别以，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，设，由题意，求出，得到，根据向量夹角公式，求得，令，则，得到，即可求出结果.【详解】由题意，建立如图所示的平
12、面直角坐标系，设，因为为的中点，为的中点，所以，因此，所以，令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立即的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，熟记向量夹角公式，以及平面向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型.16.在三棱锥中，二面角是钝角.若三棱锥的体积为2则三棱锥的外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】先画出三棱锥，取中点为，连接，取中点为，连接，根据三棱锥的体积，求出；再把三棱锥补成长方体，使三棱锥的各棱分别是面对角线，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，设，根据题中数据，求出，进而可求出外接球的直径，从而可求出其表面积.【详解】如图（1），取中点为，连
13、接，则由，可得：，即即为二面角的平面角；又，所以平面；取中点为，连接，设，又所以，因此，所以，即，解得：或，当时，即，舍去；所以，即；如图（2），把三棱锥补成长方体，使三棱锥的各棱分别是面对角线，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，设，则，解得，因此，外接球的直径为，所以四面体的外接球的表面积是.故答案为：.【点睛】本题主要考查求三棱锥外接球的表面积，熟记三棱锥的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知首项为的等比数列的前项和为，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大值.【答案】（1）；（2
14、）【解析】【分析】（1）由成等差数列，得，化简得，求得，然后用等比数列的通项公式求得即可；（2）由（1）求得，进而求得，然后分为奇数和偶数两种情况对的单调性进行讨论，即可求得的最大值.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，由成等差数列，得,即，所以，即，因为，所以； （2）由（1）得，当为奇数时，因为，且递增，所以递减，当为偶数时，同理递增，所以递减.,因为综上有数列的最大值为.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、前项和公式与等差数列的性质，考查数列的最值，属于中档题.18.如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，点是棱的中点，点在上，且，平面（）求实数的值；（）求二面角的余弦值【答案】
15、（）（）【解析】【分析】（）连接，设，通过，可求解出的值；（）以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值.【详解】（）连接，设，则平面平面，平面，（），又，平面，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量设平面的法向量，则，令，得，即所求二面角的余弦值是【点睛】此题考查空间向量数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.19.已知椭圆C：，点P在圆O：上.（1）设点Q在直线上，且.试问：过点P且垂直于OQ的直线是否恒过椭圆C的左焦点
16、F？若成立请证明，若不成立请说明理由.（2）直线与圆O：相切于点M，且与椭圆C相交于不同的两点A，B，求的最大值.【答案】（1）过点P且垂直于OQ的直线恒过椭圆C的左焦点F，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先由题意，得到，设，计算，即可得出结果；（2）当直线垂直轴时，易知；当直线不垂直轴时，设为，根据直线与圆相切，得到，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，以及弦长公式，即可求出弦长的最值.【详解】（1）由题意知，设，过点且垂直于的直线恒过椭圆C的左焦点. （2）当直线垂直轴时，易知当直线不垂直轴时，设，由直线与圆O：相切知，即. 将代入椭圆C：整理得， 综上的最大值是.【点睛】本题主要考
17、查直线恒过定点问题，以及求椭圆弦长的最值问题，熟记直线与椭圆位置关系，以及弦长公式等即可，属于常考题型.20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，
18、2，7的球槽内.（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率:（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为元，其中=|20 - 5X|（i）求X的分布列；（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗?【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析；（ii）可以盈利.【解析】【分析】（1）分析小球落入第7层第6个空隙处对应的事件，利用公式求得结果；（2）（i）分析得出的可取值，之后利用公式求得概率，列表得分布列；（ii）首先指出的可取值，结合（i）求
19、得其对应的概率，利用公式求得，与8比较大小得到结论.【详解】（1）小球落入第7层第6个空隙处需要6次碰撞中有1次向左5次向右，所以；（2）（i），所以的分布列为：（ii）=|20 - 5X|，所以，所以，所以小明可以盈利.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，概率求解公式，离散型随机变量的分布列及期望，属于简单题目.21.已知函数（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范围；为数列的前项和，为数列的前项和.只需证明 即可.试题解析：（1
20、）由，得 .整理，得恒成立，即.令.则.函数在上单调递减，在上单调递增.函数的最小值为.，即.的取值范围是.（2）为数列的前项和，为数列的前项和.只需证明 即可.由（1），当时，有，即.令，即得 . .现证明，即 . 现证明.构造函数 ，则 .函数在上是增函数，即.当时，有，即成立.令，则式成立.综上，得 .对数列，分别求前项和，得 .（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题记分选修4-4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，:（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:，射线l:（）.（1）求的横，
21、纵坐标的取值范围，并将化为极坐标方程；（2）若与y轴的交点为P（异于原点），射线l与，分别交于A，B两点，求的面积.【答案】（1），（扣）；（2）【解析】【分析】（1）消去参数求得，曲线直角坐标方程,，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；（2）当时，再由，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线:（t为参数），可得，又由，可得，所以，即,，又由，可得，整理得（除去）.（2）由射线l:（），当时，所以,即的面积为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.选修 4- 5: 不等式选讲23
22、.已知函数.（1）求的最小值；（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论，去绝对值化简，即可得函数解析式，进而画出函数图像，即可求得最小值；（2）将不等式变形，并令化简后结合（1）即可得，分类讨论去绝对值化简即可得解.【详解】（1）函数所以当时，当时，当时，所以，画出函数图像如下图所示：由函数图像可知，当时，.（2）不等式恒成立，则，令上式可化为，由（1）可知，所以只需，当时，不等式可化为，解得，即；当时，不等式可化为，解得，即；当时，不等式可化为，解得，即；综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式的应用，不等式恒成立问题的解法，属于中档题.
