1、83解三角形的应用举例读教材填要点1测量中有关名词、术语(1)仰角与俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角，如图(1)所示(2)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如：方位角是60的图形是图(2) ，或称北偏东60.(3)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.2用解三角形知识解实际问题的步骤小问题大思维用解三角形的知识解决距离、高度问题应用了什么数学思想？提示体现了数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理得出
2、数学模型的解，再还原成实际问题的解测量距离问题 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离解ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)
3、A，B两点间的距离为 km.解决该题的切入点是所求量在哪个三角形中，已知是什么，还需要什么，待求的量怎么求出，具体落实到使用哪个定理1如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(视A，B，C，D四点在同一平面内)求两目标A，B之间的距离解：在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，ACCD，AD3.在BCD中，CBD18045304560，由正弦定理，得，BD.在ADB中，由余弦定理得，AB2AD2BD22ADBDcosADB92235，AB，即目标A，B相距 km.测量高度的问题 A，B是水平面上的两个
4、点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.解如图，由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此，只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1) (m)CDAD800(1)2 186 (m)答：山高CD约为2 186 m.在测量高度时，要注意理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：(1)根据已知条件画出示意图；(2)分析与问题有关的三角形；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；(4)要综合运用立体几何知识与平面几何
5、知识；(5)注意方程思想的运用,2一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45，沿A向北偏东30方向前进100 m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析：选A如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，BAC60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角
6、为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_m.解析：因为SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，所以ASB180SABSBA135.在ABS中，AB1 000，所以BCABsin 451 0001 000(m)答案：1 000测量角度的问题 如图，某货船在索马里附近海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解设所需
7、时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)舰艇需1小时靠近货船此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理得，所以sinCAB，所以CAB30或CAB150(舍)，所以护航舰航行的方位角为75.解决此类问题的关键是明确题中所给各个角的含义，画出示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获得解决4如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲
8、船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？解：由已知，得CAB9030120，则ACB90.连接BC.在 ABC中，由余弦定理得BC220210222010cos 120700，BC10 海里在ABC中，根据正弦定理，得，sinACB.又ACB90，ACB41.乙船应朝北偏东大约413071的方向沿直线前往B处救援随堂体验落实1海面上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成30的视角，则B与C之间的距离是()A10 海里B. 海里C5 海里D5 海里解析：选D由题意，画出
9、示意图，如图在ABC中，C180AB90，BCABsin 605 海里2在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30和60，则塔高为()A. mB mC. mD. m解析：选A如图，设塔高CDx，在ABD中，tan 30，BD200tan 30.在ACE中，tan 30.200xBDtan 30，x200.3已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则AC两地的距离为()A10 kmB kmC10 kmD10 km解析：选D如图，在ABC中，AB10，BC20，ABC120.由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 120100
10、400200700，AC10(km)4如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)解析：如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则在RtABD中，ABD67，AD46，AB.在ABC中，根据正弦定理得BC4660.答案：605如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，求建筑物的高度解：设建筑物的高度为h，由题图知，PA
11、2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.感悟高手解题在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高解由已知可得在ABC与ACD中，ACBC30，ADDC10，ADC1804，.sin 42sin 2cos 2，cos 2，得230.15，在RtADE中，AEADsin 6015 m.答：所求角为15，建筑物高度为15 m.
12、一、选择题1甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为 千米，那么这时甲走的距离是()A2 千米B2千米C. 千米D1千米解析：选D假设甲走到了C，则在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 60，即()222AC222AC，解得AC1.故选D.2.如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A10 kmB10
13、kmC15 kmD15 km解析：选B在ABC中，BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)65105，A180(30105)45.由正弦定理，得AC10(km)3有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延伸()A5 mB10 mC10 mD10 m解析：选C如图，E为斜坡延长后的底在AEC中，CEA30，AC10，CAE105，由内角和定理得ACE45.由正弦定理得.AE10 (m)4在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100 m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔
14、高约为()A237 mB227 mC247 mD257 m解析：选A如图，CD表示电视塔，由已知得CAD45，AB100，CBD60，设塔高为x，在CBD中，BDxtan 30x，又ADCD，x100x.x50(3)237 m.二、填空题5一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.解析：如图，在ABC中，AC41560，BAC30，ACB105，ABC45.BC30(km)答案：306甲、乙两塔相距60 m，从乙塔塔底望甲塔塔顶仰角为45，从甲塔塔顶望乙塔塔顶俯角为30，则甲、乙两
15、塔高度分别为_解析：如图所示，在RtBCD中，CBD45，则CDBD60(m)在RtAEC中，CEtan 30AE20(m)AB(6020 )(m)答案：60 m(6020 )m7某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile.解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BCAD，DAB30，DAC60，则在RtACD中，DCACsinDAC30sin 6015 n mileADACcosDAC30cos 6015 n mile，则在RtADB中，DBADtanDAB15tan
16、305 n mile，则BCDCDB15510 n mile.答案：108甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿_方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了_n mile.解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BCtv，ACtv，又B120，则由正弦定理，得，sinCAB，CAB30，甲船应沿北偏东30方向行驶又ACB1801203030，BCABa n mile，AC a(n mile)答案：北偏东30a三、解答题9某观测站C在A城的南偏西20的方向，由A城出发有一
17、条公路，公路走向是南偏东40，在公路上测得距离C 31 km的B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时C，D之间相距21 km，问此人还要走多远才能到达A城？解：如图，CAB60，BD20 km，CB31 km，CD21 km.在BCD中，由余弦定理，得cosBDC，则sinBDC.在ACD中，ACDBDCCADBDC60.由正弦定理，可得AD.sinACDsin(BDC60)sinBDCcos 60cosBDCsin 60，AD15(km)此人还要走15 km才能到达A城10.如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距
18、A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快(在D点)截获走私船，则CD10t海里，BD10t海里BC2AB2AC22ABACcosCAB(1)2222(1)2cos 1206，BC.，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120.，sinBCD，BCD30.由CBD120，BCD30，得D30，BDBC，即10t，t(小时)答：缉私船沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，需要小时
