1、12.4二面角新课程标准解读核心素养1.理解二面角的定义直观想象2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)约为2326，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来问题你知道二面角是如何定义的吗？知识点一二面角1定义：从
2、一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，如图2范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0，不大于180，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0且不大于90的角的大小，平面角是直角的二面角称为直二面角如何找二面角的平面角？提示：定义法在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角垂面法已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角垂线法过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二
3、面角的平面角或其补角，如图，AOB为二面角l的平面角正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则二面角PCDA的大小为_，平面PAD与平面PBC所成的角为_答案：4545知识点二空间向量与二面角如果n1，n2分别是平面1，2的一个法向量，设1与2所成角的大小为，则n1，n2或n1，n2，如图特别地sin sin_n1，n2若二面角l的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2一定相等吗？提示：不一定可能相等，也可能互补1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)二面角l的大小为，平面，的法向量分别为n1，n2，则n1，n2()(2)平面
4、与平面的所成角为，则l.()答案：(1)(2)2在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为()A BC D或解析：选D，这个二面角的余弦值为或.3如图，OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，则二面角ABCO的余弦值为_答案：定义法求二面角例1(链接教科书第48页例1，第49页例2)(1)已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C120 D60(2)如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是圆周
5、上不同于A，B两点的任意一点，且AB2，PABC，则二面角ABCP的大小为_解析(1)如图，ACAB，BDAB，过A在平面ABD内作AEBD，过D作DEAB，连接CE，所以DEAB且DE平面AEC，CAE即二面角的平面角在RtDEC中，CD2，DE4，则CE2，在ACE中，由余弦定理可得cos CAE，所以CAE60，即所求二面角的大小为60.(2)因为AB为O的直径，所以ACBC，又因为PA平面ABC，所以PABC，因为ACPAA，所以BC平面PAC，所以BCPC，所以PCA为二面角ABCP的平面角因为ACB90，AB2，PABC，所以AC1，所以在RtPAC中，tan PCA.所以PCA6
6、0.即所求二面角的大小为60.答案(1)D(2)60求二面角大小的步骤(一作二证三求) 跟踪训练如图，空间四边形ABCD中，ABBCCDDAa，对角线ACa，BDa，求二面角ABDC的大小解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO，ABAD，BCCD，AOBD，COBD.AOC为二面角ABDC的平面角ABADa，BDa，AOa.BCCDa，BDa，OCa.在AOC中，OCa，OAa，ACa，OA2OC2AC2.AOC90.即二面角ABDC的大小为90.向量法求二面角例2(2020全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上
7、一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值解(1)证明：设DOa，由题意可得POa，AOa，ABa，PAPBPCa.因此PA2PB2AB2，从而PAPB.又PA2PC2AC2，故PAPC.又PBPCP，PB，PC平面PBC，所以PA平面PBC.(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得E(0，1，0)，A(0，1，0)，C，P.所以，.设m(x，y，z)是平面PCE的法向量，则即可取m.由(1)知是平面PCB的一个法向量，记n，则cos n，m.所以二面角BPCE的余弦值为.向量法求二面角的三个步骤(
8、1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；(2)求出两个半平面的法向量n1，n2；(3)设两平面的夹角为，则cos |cos n1，n2|.注意(1)若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；(2)要注意两平面所成的角与二面角的区别 跟踪训练在正方体ABCDA1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成的角的大小解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F，(1，0，1)，(0，1，1).设平面AB1E的法向量为n1(x1，y1，z1)
9、，则即令y12，则x11，z11，所以n1(1，2，1).设平面AD1F的法向量为n2(x2，y2，z2).则即令x22，则y21，z21.所以n2(2，1，1).所以平面AB1E与平面AD1F所成的角的余弦值为.所以平面AB1E与平面AD1F所成的角为60.空间中的翻折与探索性问题例3如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，CD2AB2BC4，过A点作AECD，垂足为E，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图.(1)求证：BC平面DEC；(2)求二面角CBFE的余弦值解(1)证明：DEEC，DEAE，AEECE，DE平面ABCE，又BC平面AB
10、CE，DEBC，又BCEC，DEECE，BC平面DEC.(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系Exyz，E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)，设平面EFB的法向量n1(x1，y1，z1)，由(1，0，1)，(2，2，0)，取x11，得平面EFB的一个法向量n1(1，1，1)，设平面BCF的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，由(1，2，1)，(2，0，0)，取y21，得平面BCF的一个法向量n2(0，1，2)，设二面角CBFE的大小为，由图可知，为锐角，则cos .1与空间
11、角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中不变的量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题2关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理 跟踪训练如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1PA1B1.(1)证明：无论取何值，总有AMPN；(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30？若存在，试确定点P的位置；
12、若不存在，请说明理由解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N.(1，0，0)(，0，0)，P(，0，1)，.(1)证明：，00，无论取何值，总有AMPN.(2)假设存在点P满足题意，设n(x，y，z)是平面PMN的法向量，由得令x3，得y12，z22，n(3，12，22)为平面PMN的一个法向量易知平面ABC的一个法向量为m(0，0，1)，|cos m，n|，化简得4210130.(*)10044131080，方程(*)无解，不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30.1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面B
13、CD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A BC或 D或解析：选C当二面角ABDC为锐角时，它等于n1，n2.当二面角ABDC为钝角时，它等于n1，n2.2.如图，已知ABC和BCD均为边长为a的等边三角形，且ADa，则二面角ABCD的大小为()A30 B45C60 D90解析：选C如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AEBC，DEBC，且AEDEa，又ADa，AED60，即二面角ABCD的大小为60.3如图所示，在正四棱锥PABCD中，若PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为8，则侧面与底面所成的二面角为()A BC D解析：选D设正四棱锥的底
14、面边长为a，侧面与底面所成的二面角为，高为h，斜高为h，则，sin ，即.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_解析：建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E，(1，0，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0.即令x1，得y，z1.n，又平面ABCD的一个法向量为(0，0，1).则cos n，.平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.答案：5三棱锥PABC，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，求二面角PACB的大小解：如图在三棱锥PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，AC2BC2AB2，ABC是以AB为斜边的直角三角形，P在底ABC的射影D是ABC的外心，即斜边AB的中点D是P在底ABC的射影，作DEAC，交AC于点E，连接PE，则PED是所求的二面角的平面角，由题意得DE4，PE8，cos PED，PED60，二面角PACB的大小为60.
