1、第二讲 函数的基本性质 1.下列说法中正确的个数是()(1)若函数 y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,+).(2)对于函数 f(x),xD,若对任意 x1,x2D(x1x2),有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则函数 f(x)在区间 D上是增函数.(3)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.(4)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(5)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,若 f(x)在(-,0)上是减函数,则 f(x)在(0,+)上是增函数.(6)若
2、T 为函数 y=f(x)的一个周期,那么 nT(nZ)也是函数 f(x)的周期.A.3 B.4 C.5 D.6 2.多选题下列函数中,在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=12 B.y=2-x C.y=log12x D.y=1 3.2019 全国卷设 f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)=ex-1,则当 x 1在(-,a上的最大值为 4,则 a 的取值范围为()A.0,17 B.(-,17 C.1,17 D.1,+)5.2020 南阳模拟已知函数 f(x)=x3+ln x,则不等式 f(x(x-1)f(2)的解集是 .6.2020 四川五校联考已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足
3、 f(x+4)=f(x),当 x(0,1时,f(x)=2x+ln x,则 f(2 019)=.7.2020 大同市调研测试若函数 f(x)=3e|-1|-sin(-1)e|-1|在区间-3,5上的最大值、最小值分别为 p,q,则 p+q 的值为 .考法 1 确定函数的单调性(单调区间)1 判断下列函数的单调性:(1)f(x)=3-4+3(x0,得 x4.因此,函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-,-2)(4,+).(先求函数 f(x)的定义域)易知函数 y=x2-2x-8 在(-,-2)上单调递减,在(4,+)上单调递增,函数 y=ln t 为(0,+)上的增函数,由复合函数的
4、单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+).D 考法 2 函数单调性的应用 命题角度 1 比较大小 3 已知函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)=-4-x,设 a=f(log30.2),b=f(3-0.2),c=f(-31.1),则 A.cab B.abc C.cba D.bac 利用函数 f(x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把 a,c 对应的自变量的值转化到(0,+)内,然后比较 31.1,-log30.2,3-0.2 的大小,再判断 f(x)在(0,+)上的单调性,即可得 a,b,c 的大小.因为函数 f(x)为偶函数,所以 a=f(log30
5、.2)=f(-log30.2),c=f(-31.1)=f(31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)因为 log319 log30.2 log313,所以-2log30.2 -1,所以 1 -log30.23-log30.213-0.2.因为 y=在(0,+)上为增函数,y=-4-x 在(0,+)上为增函数,所以 f(x)在(0,+)上为增函数,所以 f(31.1)f(-log30.2)f(3-0.2),所以 cab.A 命题角度 2 求解不等式 4(1)2017 全国卷函数 f(x)在(-,+)上单调递减,且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1 的 x 的
6、取值范围是 A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3(2)已知函数 f(x)=-x|x|,x(-1,1),则不等式 f(1-m)f(m2-1)的解集为 .(1)函数 f(x)为奇函数,且 f(1)=-1,f(-1)=-f(1)=1,由-1f(x-2)1,得 f(1)f(x-2)f(-1),又函数 f(x)在(-,+)上单调递减,-1x-21,1x3.故选 D.(2)由已知得 f(x)=2,-1 0,-2,0 1,则 f(x)在(-1,1)上单调递减,-1 1-1,-1 2-1 1,2-1 1-,解得 0m0),y=log12u 为减函数,函数 u 在1,2上是减函数,u=6-ax+x
7、2,其图象的对称轴为直线 x=2,22,且 u0 在1,2上恒成立.2 2,6-2+4 0,解得 4a 1是 R 上的增函数,则 a 的取值范围为 .(2)2016 天津高考已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)f(-2),则 a 的取值范围是 .考法 3 求函数的最值(值域)6 已知函数 f(x)=2,1,+6-6,1,则 f(x)的最小值是 .结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.(利用单调性和基本不等式求解)因为 y=x2在(,0)上单调递减,在0,+)上单调递增,
8、所以当 x1 时,f(x)min=f(0)=0.(用单调性法求最值)当 x1 时,y=x+626,当且仅当 x=6时,等号成立,此时 f(x)min=26-6.(用基本不等式法求最值)又 26-60,.(比较每段上的最值)所以 f(x)min=26-6.求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.7 若 x-6,23,则函数 y=4sin2x-12sin x-1 的最大值为 ,最小值为 .令 t=sin x,确定 t 的取值范围转化为关于 t 的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值(换元法)令 t=sin x,因为 x-6,2
9、3,所以 t-12,1,.(注意新元的取值范围)所以 y=f(t)=4t2-12t-1.因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线 t=32,所以当 t-12,1时,函数 f(t)单调递减,所以当 t=-12时,ymax=6;当 t=1 时,ymin=-9.8 求下列函数的值域:(1)y=1-sin2-cos;(2)y=-2-6-5;(3)y=x+1-2;(4)y=3-52+1;(5)y=2+4+12+1;(6)y=2-12+1.根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.(1)(图象法)设动点 M(cos x,sin x),定点 P(2,1),则 y=1-sin2-cos的几何意义是直线 P
10、M 的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1 上.如图2-2-1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,1=0,2=43.所以函数的值域为0,43.图 2-2-1 (2)(配方法)因为 y=-2-6-5=-(+3)2+44=2,y0,所以 y=-2-6-5的值域为0,2.(3)(三角换元法)因为 1-x20,所以-1x1,所以可设 x=cos,0,则 y=cos+sin=2sin(+4).因为 0,所以+44,54,所以 sin(+4)-22,1,所以2sin(+4)-1,2,所以原函数的值域为-1,2.(4)(分离常数法)y=3-52+1=32(2+1)-1322+1=32 1322+132,所以
11、所求函数的值域为y|yR 且 y32.(5)(判别式法)由原函数整理得(1-y)x2+4x+1-y=0.当 1-y=0,即 y=1 时,x=0;当 1-y0,即 y1 时,=16-4(1-y)20,即(1-y)24,解得-1y3,所以-1y3 且 y1.(要注意对二次项系数 1-y 进行讨论)综上,所求函数的值域为-1,3.(6)(有界性法)由 y=2-12+1,可得 x2=1+1-,且 y1.(结合完全平方式非负的性质来转化)由 x20,知1+1-0,解得-1y0),则函数 f(x)的最大值是 .考法 4 判断函数的奇偶性 9 判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-1)1+1-;(2
12、)f(x)=lg(1-2)|2-2|-2;(3)f(x)=2+(0).求函数的定义域判断定义域是否关于原点对称判断 f(-x)与 f(x)的关系 下结论(1)由1+1-0 得函数的定义域为-1,1),不关于原点对称,所以 f(x)为非奇非偶函数.(2)由1-2 0,|2-2|-2 0 得函数的定义域为(-1,0)(0,1),f(x)=lg(1-2)-(2-2)-2=-lg(1-2)2.所以 f(-x)=-lg1-(-)2(-)2=-lg(1-2)2=f(x),所以 f(x)为偶函数.(3)当 x0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);当 x0 时,-x0,则 f(-x
13、)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x).又 f(0)=0,故对任意的 x(-,+),都有 f(-x)=-f(x),(只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)所以 f(x)为奇函数.3.设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 考法 5 函数奇偶性的应用 10(1)2020 湖北部分重点中学高三测试已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x0 时,f(x)=x+1,则 f(x)的
14、解析式为 .(1)解法一 令 x0,则-x0 时,f(x)=-f(-x)=-log2x-m,因为 f(12)=2,所以2=-log212-m,解得 m=-2+1,故选D.解法二 因为f(x)是R 上的奇函数,f(12)=2,所以f(-12)=-2,因为当x0 时,f(x)=log2(-x)+m,所以-2=log2-(-12)+m,所以 m=-2+1,故选 D.(2)因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x).当 x=0 时,有 f(-0)=-f(0),所以 f(0)=0.当 x0.f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.所以 f(x)=+1,0,0,=0,-1,0.4.202
15、0 陕西省部分学校摸底测试若函数 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数、奇函数,且满足 f(x)+2g(x)=ex,则()A.f(-2)f(-3)g(-1)B.g(-1)f(-3)f(-2)C.f(-2)g(-1)f(-3)D.g(-1)f(-2)f(-3)考法 6 函数周期性的判断及应用 11 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+3)=-1(),当 1x3 时,f(x)=cos3,则 f(2 020)=.先由已知条件求出函数的周期,再结合函数的性质,把 f(2 020)转化为 f(4),进而转化为 f(2),把 x=2 代入即可.由已知可得 f(x+6)=f(x+
16、3)+3)=-1(+3)=-1-1()=f(x),故函数 f(x)的周期为 6,f(2 020)=f(6336+4)=f(4).f(x)为偶函数,f(1)=f(-1),则 f(4)=f(1+3)=-1(1)=-1(-1)=f(2)=cos23=-12,f(2 020)=-12.5.2016山东高考已知函数f(x)的定义域为R.当x12时,f(x+12)=f(x-12).则 f(6)=()A.-2 B.-1 C.0 D.2 考法 7 函数性质的综合应用 12 (1)2019 全国卷设 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在(0,+)上单调递减,则 A.f(log314)f(2-32)f(2-23
17、)B.f(log314)f(2-23)f(2-32)C.f(2-32)f(2-23)f(log314)D.f(2-23)f(2-32)f(log314)(2)2018 全国卷已知 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=A.-50 B.0 C.2 D.50(1)根据函数 f(x)为偶函数可知,f(log314)=f(-log34)=f(log34),02-32 2-23 20f(2-23)f(log314).(2)解法一 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,f(-x)=-f(x),且 f(0)=0
18、.f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x),f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),f(x)是周期函数,且一个周期为4,f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(50)=120+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.解法二 因为函数 f(x)满足 f(1-x)=f(1+x),可知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.又 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,所以 f(0)=0,且已知 f(1)=2,计算可得:f(
19、2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=-f(2)=0,f(5)=f(-3)=-f(3)=2,f(6)=f(-4)=-f(4)=0,f(7)=f(-5)=-f(5)=-2,f(8)=f(-6)=-f(6)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)12+2+0=2.(1)C(2)C 6.已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意实数 x 有 f(x+4)=-f(x)+22,若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,f(5)=2,则 f(2 021)=.266 1.B 对于(1),函数的单调区间和函数在区间
20、上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2D(x1x2),(x1-x2)f(x1)-f(x2)01 2,(1)(2)或1 2,(1)0 时,y=x 在(0,+)上单调递增,当 0 且 a1),当 0a1 时,y=ax 在(-,+)上单调递增,而选项 B 中的函数 y=2-x 可转化为 y=(12)x,因此函数 y=2-x 在(0,+)上单调递减,故选项 B 符合题意;对于对数函数 y=logax(a0且 a1),当 0a1 时,y=logax 在(0,+)上单调递增,因此选项 C 中的函数 y=log12x 在(0,+)上单调递减,故选项 C 符合题意.故选 BCD.3.D 解
21、法一 依题意得,当 x0 时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,选 D.解法二 依题意得,f(-1)=-f(1)=-(e1-1)=1-e,结合选项知,选 D.4.C 易知 f(x)在(-,1上单调递增,在(1,+)上单调递增,因为 f(1)=4,f(17)=4,所以 a 的取值范围为1,17.5.(-1,0)(1,2)函数 f(x)的定义域为(0,+),且 y=x3 与 y=ln x 在(0,+)上都是增函数,故 f(x)=x3+ln x 在定义域内为增函数,则 0 x(x-1)2,解得-1x0 或 1x2.6.-2 由 f(x)=f(x+4)得 f(x)是周期为 4 的
22、函数,故 f(2 019)=f(4505-1)=f(-1),又 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=-(2+ln 1)=-2.7.6 由 f(x)=3e|-1|-sin(-1)e|-1|=3-sin(-1)e|-1|,x-3,5,可得 f(x+1)=3-sine|,x-4,4,令 g(x)=f(x+1)-3=-sine|,x-4,4,可得 g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点对称.设 g(x)在-4,4上的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=0.易知 p=M+3,q=m+3,所以 p+q=6.1.(1)-3a-2 由题意,得-2 1,f(-2),且 f(-2)=f(2),所
23、以-22|a-1|2,则|a-1|12,所以12a0,所以 011+2+11,所以12 12+52(1+2+1)3,即12f(x)0,f(-3)=e-3+e32 0,g(-1)=e-1-e4 0,所以 g(-1)f(-2)12时,f(x+1)=f(x),所以 f(6)=f(51+1)=f(1).因为当-1x1 时,f(-x)=-f(x),所以 f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2,所以 f(6)=2,故选 D.6.2 由函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称可知,函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数.由 f(x+4)=-f(x)+22,得 f(x+4+4)=-f(x+4)+22=f(x),所以 f(x)是最小正周期为 8 的偶函数,所以 f(2 021)=f(5+2528)=f(5)=2.