1、第九节函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a0)反比例函数模型f(x)=ax+b(a0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数模型f(x)=
2、axn+b(a,b,n为常数,且a0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随值变化而不同值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxx0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-,-a)和(a,+)上单调递增,在-a,0)和(0,a上单调递减.(2)当x0时,在x=a处取最小值2a,当x0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,
3、当x(4,+)时,三个函数的增长速度大小为g(x)f(x)h(x).()(4)函数y=2x的函数值在(0,+)上一定比y=x2的函数值大.()(5)在(0,+)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度.()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x 答案D3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格
4、比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案A4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.答案35.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案1 0246.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100 km,那么票价是0.5元/km,如果超过100 km,那么超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y
5、(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是.答案y=0.5x,0100二次函数、分段函数模型典例1某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)当蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-1206t,令6t=x,则x2=6t,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,所以当x=6,即t
6、=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.(2)由(1)及题意有400+10x2-120x80,得x2-12x+320,解得4x8,即46t8,83t323,由323-83=8小时,得每天约有8小时供水紧张.典例2已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=10.8-130x2,010.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?(注:年利
7、润=年销售收入-年总成本)解析(1)当010时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-1 0003x-2.7x.W=8.1x-x330-10,010.(2)当00,当x(9,10时,W10时,W=98-1 0003x+2.7x98-21 0003x2.7x=38,当且仅当1 0003x=2.7x,即x=1009时,W=38,故当x=1009时,W取最大值38(当1 000x取整数时,W一定小于38).综合知,当x=9时,W取最大值,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.1-1为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把
8、二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解析设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80 000=-12x2+300x-80 000=-12(x-300)2-35 000,因为400x600,所以当x=400时,S有最大值-40 000.故该单位不获利
9、,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.指数函数模型典例3某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析(1)由题图,设y=kt,0t1,当t=1时,由y=4,得k=4,则y=4t.由121-a=4,得a=3.所以y=4t,0t1,12t-3,t1.(2)由y0.25得0t1,4t0.25或t1,12t-30.25,解得116t5,故服
10、药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时).对数函数模型典例4候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解析(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog33010=0,即a+b=0;当耗氧量为90个
11、单位时,速度为1 m/s,则a+blog39010=1,整理得a+2b=1.解方程组a+b=0,a+2b=1,得a=-1,b=1.(2)由(1)知,v=a+blog3Q10=-1+log3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v2,所以-1+log3Q102,即log3Q103,解得Q1027,即Q270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.规律方法构建数学模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.3-1(1)某食品的保鲜时间y(单
12、位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是() A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时(2)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案(
13、1)C(2)D解析(1)由已知得192=eb,48=e22k+b=e22keb,将代入得e22k=14,则e11k=12,当x=33时,y=e33k+b=e33keb=123192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是24小时.故选C.(2)设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1200,则lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n245,又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超
14、过200万元的年份是2021年.故选D.A组基础题组1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=0.001exB.y=1 000ln xC.y=x1 000D.y=1 0002x答案A2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为() A.3米B.4米C.6米D.12米答案A设隔墙的长为x(0x6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选A.3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,
15、其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=log12x答案B4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按m元/m3收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()A.13 m3B.14 m3C.18 m3D.26 m3答案A5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边
16、长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案A如图,由三角形相似得24-y24-8=x20,得x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.检验符合题意.6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤次才能达到市场要求.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)答案8解析设过滤n次,则2%1-13n0.1%,即23n120,所以nlg 23-1-lg 2,所以n7.39,所以n
17、=8.7.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为海里/小时时,总费用最小.答案40解析设每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,又当v=10时,k102=6,解得k=0.06,所以每小时的总费用y=0.06v2+96,匀速行驶10海里所用的时间为10v小时,故总费用W=10vy=10v(0.06v2+96)=0.6v+960v20.6v960v=48,当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/
18、小时.8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.答案1909解析前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b(k0),将点(1,10)和(10,30)代入函数解析式得10=k+b,30=10k+b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律可用表达式y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数)表示,则经过5小时,1个病毒能繁殖为个.答案1 024解析当t=0.5时
19、,y=2,所以2=e12k,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.10.某产品原来的成本为1 000元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场饱和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级.据市场调查,若投入x万元,每件产品的成本将降低34x元,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位:万元).(1)求f(x)的函数解析式;(2)求f(x)的最大值,以及f(x)取得最大值时x的值.解析(1)依题意,产品升级后,每件的成本为1 000-3x4元
20、,利润为200+3x4元,年销售量为1-2x万件,则纯利润f(x)=200+3x41-2x-x=198.5-400x-x4.(2)f(x)=198.5-400x-x4198.5-2400xx4=178.5,当且仅当400x=x4,即x=40时等号成立.所以f(x)取最大值时的x的值为40.11.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解析(1)如图,作PQAF于Q,
21、所以PQ=8-y,EQ=x-4,在EDF中,EQPQ=EFFD,所以x-48-y=42,所以y=-12x+10,定义域为x|4x8.(2)设矩形BNPM的面积为S平方米,则S(x)=xy=x10-x2=-12(x-10)2+50,所以S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10,所以当x4,8时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为48平方米.B组提升题组1.我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如4.3=4,5=5;4.3=5,5=5.某停车场收费标准为每
22、小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)() A.2x+1B.2(x+1)C.2xD.2x答案C如x=1时,应付费2元,而2x+1=4,2(x+1)=4,排除A、B;当x=0.5时,付费为2元,此时2x=1,排除D,故选C.2.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期
23、”个数至少是()A.8B.9C.10D.11答案C设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为12n,由12n11 000得n10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C.3.某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为
24、多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析(1)由题意可得,当0x80时,L(x)=0.051 000x-13x2+10x+250,当x80时,L(x)=0.051 000x-51x+10 000x-1 450+250,即L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950,当x=60时,L(x)取得最大值950.当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000,当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值1
25、 000.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.4.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+42a,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)
26、试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)由题意知甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,故f(50)=80+4250+14150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依题意得x20,200-x20,解得20x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,则t25,65,y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,当t=82,即x=128时, f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.