1、第四节函数 yAsin(x)的图象及简单三角函数模型的应用【知识重温】一、必记 3 个知识点1函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤 2用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x232 2x_10 _yAsin(x)0A0A03.简谐振动 yAsin(x)中的有关物理量yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT_f_x二、必明 3 个易误点1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致
2、，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数3由 yAsin x 的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是|.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 ysinx4 的图象是由 ysinx4 的图象向右平移2个单位得到的()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)函数 yAsin(x)的最小正周期为 T2.()(4)把函数 ysin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为 ysin12x.()二、教材改编2必修 4P56 练习 T3 改编函数
3、y2sin2x4 的振幅、频率和初相分别为()A2，1，4B2，12，4C2，1，8D2，12，83必修 4P55 练习 T2 改编为了得到函数 y2sin2x3 的图象，可以将函数 y2sin 2x的图象()A向右平移6个单位长度B向右平移3个单位长度C向左平移6个单位长度D向左平移3个单位长度 三、易错易混4函数 f(x)3sinx24，xR 的最小正周期为()A.2 BC2 D45函数 ycos x|tan x|0 x且x2 的图象为()四、走进高考62020天津卷已知函数 f(x)sinx3.给出下列结论：f(x)的最小正周期为 2；f 2 是 f(x)的最大值；把函数 ysin x
4、的图象上所有点向左平移3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象其中所有正确结论的序号是()ABCD 考点一 函数 yAsin(x)的图象及变换自主练透型12021广州模拟将函数 yf(x)的图象向左平移3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 ysin3x6 的图象，则 f(x)()Asin32x6Bsin6x6Csin32x3Dsin6x32已知函数 ycos2x3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间0，内的图象；(3)说明 ycos2x3 的图象可由 ycos x 的图象经过怎样的变换而得到悟技法函数 yAsin(x)(A0，0)的图象
5、的两种作法五点法设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 x加减多少值.考点二 由图象确定 yAsin(x)的解析式互动讲练型例 1(1)2020全国卷设函数 f(x)cosx6 在，的图象大致如图，则 f(x)的最小正周期为()A.109 B.76 C.43 D.32(2)2021武昌区高三调研函数 f(x)Asin(x)A0，0，
6、00，0)的解析式的步骤(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期 T，则 2T.(3)求，常用方法有代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.变式练(着眼于举一反三)12021郑州测试将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后得到函数 g(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的解析式是()Af(x)sin2x6(xR)Bf(x)sin2x6(xR)Cf(x)sin2x3(xR)Df(x)sin2x3(xR)
7、22021江西省名校高三教学质量检测已知函数 f(x)cos(x)0，|2 的部分图象如图所示，则函数 f(x)的单调递减区间为()A.7122k，1912 2k(kZ)B.712k，1312 k(kZ)C.122k，7122k(kZ)D.12k，712k(kZ)考点三 三角函数图象性质的综合应用分层深化型考向一：三角函数模型的应用例 2 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D10考向二：函数零点(方程根)问题例 3 2021哈尔滨六中模拟设函数 f(x)sin2x4，x0，9
8、8，若方程 f(x)a 恰好有三个根 x1，x2，x3，且 x1x20，02 的图象相邻的两条对称轴之间的距离为2，若将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度后，得到奇函数 g(x)的图象，则 f(x)的一个单调递增区间为()A.4，4 B.6，3C.512，12D.3，652020北京卷若函数 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，则常数 的一个取值为_ 拓展练(着眼于迁移应用)62021山东潍坊高考模拟考试若函数 f(x)2sin(x2)cos x(00)，已知 f(x)在0,2有且仅有 5 个零点下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点f(x)在(0,2)有
9、且仅有 2 个极小值点f(x)在0，10 单调递增 的取值范围是125，2910其中所有正确结论的编号是()ABCD第四节 函数 yAsin(x)的图象及简单三角函数模型的应用【知识重温】|1 1|A A 0 2 32 2 21T 2【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数 y2sin2x4 的振幅为 2，频率为1，初相为4.故选 A 项答案：A3解析：因为 y2sin 2x2sin2x6 3，所以将 y2sin 2x 的图象向右平移6个单位长度可得 y2sin2x3 的图象答案：A4解析：最小正周期为 T2124.答案：D5解析：因为|tan x
10、|0，所以当 x0，2 时，cos x0，y0；当 x2，时，cos x0，y0.答案：C6解析：f(x)sinx3 的最小正周期为 2，正确；sin21f 6 为 f(x)的最大值，错误；将 ysin x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到 f(x)sinx3 的图象，正确故选 B.答案：B课堂考点突破考点一1解析：由题意知，先将函数 ysin3x6 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移3个单位长度即得到函数 f(x)的图象，故 f(x)sin32x3 6 sin6x6.答案：B2解析：(1)函数 ycos2x3 的振幅为 1，周期 T22，初相是3.(2)列表
11、：2x33023253x06512231112y12101012描点，连线(3)解法一 把 ycos x 的图象上所有的点向右平移3个单位长度，得到 ycosx3 的图象；再把 ycosx3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到 ycos2x3 的图象解法二 将ycos x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到ycos 2x的图象；再将 ycos 2x 的图象向右平移6个单位长度，得到 ycos2x6cos2x3 的图象考点二例 1 解析：(1)解法一 设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可得 T49()，所以109 T139，又因为|2T，所以
12、1813|95.由题图可知 f49 0，且49 是函数 f(x)的上升零点，所以49 62k2(kZ)，所以492k23(kZ)，所以|32|3k1|(kZ)又因为1813|95，所以 k0，所以|32，所以 T2|23243.故选 C.解法二(五点法)由函数 f(x)的图象知，49 62，解得 32，所以函数 f(x)的最小正周期为43，故选 C.(2)结合题图知函数 f(x)的最小正周期 T47123，由 T 得 2，结合题图知 A 2，所以 f(x)2sin(2x)，因为32，0 在 f(x)的图象上，所以 0 2sin26，所以 3k(kZ)，因为 00，|2，则有 T245126，2
13、，g 6 sin3 1，则 6，因此 g(x)sin2x6，f(x)gx6 sin2x6 6 sin2x6，故选 A.答案：A2解析：通解 由题图知，函数 f(x)cos(x)的最小正周期 T，所以 2.将点12，1 代入 f(x)cos(2x)，得 1cos(2 12)，得62k，kZ，则 2k6，kZ，又|2，所以 6，所以 f(x)cos2x6.令 2k2x62k，kZ，得 12kx712k，kZ，所以函数 f(x)的单调递减区间为12k，712k(kZ)优解 由题图知，函数 f(x)cos(x)的最小正周期 T，故排除 A，C.又函数 f(x)在12，712 上单调递减，所以函数 f(
14、x)cos(x)的单调递减区间为12k，712k(kZ)答案：D考点三例 2 解析：由图象可知，ymin2，因为 ymin3k，所以3k2，解得 k5，所以这段时间水深的最大值是 ymax3k358.答案：C例 3 解析：由题意 x0，98，则 2x44，52，画出函数的大致图象，如图所示，由图得，当 22 a1 时，方程 f(x)a 恰好有三个根，由 2x42得 x8，由 2x432得 x58，由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线 x8对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线 x58 对称，x1x24，x398，则54 x1x2x3118，即 x1x2x3 的取值范围是54，1
15、18，故选 B.答案：B例 4 解 析：将 函 数 y 3sin2x4 的 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度，得 到 y 3sin2x6 4 3sin2x 12 的图象，由 2x 122k，kZ，得对称轴方程为 x72412k，kZ，其中与 y 轴最近的对称轴的方程为 x524.答案：x524同类练3解析：t 时刻，秒针针尖经过的圆弧对应的角度为 t602t30，以 x 轴正半轴为始边，P(x，y)所在射线为终边，得 P0 对应的角度为6，则 P(x，y)对应的角度为6t30，由 P032，12 可知 P(x，y)在单位圆上，所以 t 时刻 P(x，y)的纵坐标 ysint306
16、，故选 C.秒杀解 t0 时，纵坐标 y12，排除 BD；t10 时，观察图形，此时纵坐标 y1，排除 A.选 C.答案：C变式练4解析：f(x)32 sin(2x2)12cos(2x2)sin2x26，函数 f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为2，22122，1，将 f(x)的图象向右平移6个单位长度后，得到奇函数 g(x)的图象，g(x)sin2x6 26 sin2x26，26k(kZ)，k2 12(kZ)，又 02，12，f(x)sin2x3，令 2x32k2，2k2(kZ)，得 xk512，k 12(kZ)，取 k0，得 x512，12，故选 C.答案：C5解析：符合2k2，kZ
17、都可以，答案不唯一 易知当 ysin(x)，ycos x 同时取得最大值 1 时，函数 f(x)sin(x)cos x 取得最大值 2，故 sin(x)cos x，则 22k，kZ，故常数 的一个取值为2.答案：2拓展练6解析：由题意，函数 f(x)2sin(x2)cos x(02)的图象过点(0,2)，可得 2sin 22，即 sin 21，02，4，故 f(x)2sin(x2)cos x2cos2xcos 2x1，当 x4时，f(x)1，故 A，B 都不正确；f(x)的最小正周期为22，故 C 不正确；显然，f(x)cos 2x10,2，故 D 正确，故选 D.答案：D7解析：如图，根据题意知，xA2xB，根据图象可知函数 f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点，所以正确；但可能会有 3 个极小值点，所以错误；根据 xA2xB，有2452295，得125 2910，所以正确；当 x0，10 时，5x5105，因为125 2910，所以105491002，所以函数 f(x)在0，10 单调递增，所以正确答案：D