1、课时规范练42圆的方程课时规范练B册第26页 基础巩固组1.(2019浙江绍兴模拟,5)已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)答案D解析当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为-k2,-1,半径为r=4-3k22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-
2、1)2=5B.(x-1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=5答案A解析由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=(-1+3)2+(1-0)2=5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.(2019福建宁德模拟,6)已知点M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则k的取值范围为()A.-6,12B.(-,-6)12,+C.(-6,+)D.-,12答案A解析圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,圆的标准方程为(x-1)2+(y+2
3、)2=1-2k,圆心坐标(1,-2),半径r=1-2k,若M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则满足(3-1)2+(1+2)21-2k,且1-2k0,即131-2k且k12,即-6k0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为()A.2,2B.2,22C.1,2D.1,22答案B解析(x-a)2+(y-a)2=1(a0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d2,4,即22a42a22,故选B.6.(2019浙江湖州模拟,4)若圆C1:(x+2)2+(y-1
4、)2=1与圆C2关于原点对称,则圆C2的方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-1)2+(y+2)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=1答案D解析由题意可得圆C1的圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,圆C2的圆心为(2,-1),半径为1,圆C2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.7.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1
5、,由mR知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为(2-1)2+(-1-0)2=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.设点P是函数y=-4-(x-1)2图像上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(aR),则|PQ|的最小值为.答案5-2解析函数y=-4-(x-1)2的图像表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则x=2a,y=a-3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图像如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=|1-20-6|12+(-2)2=52,所以直线x-2y-6=
6、0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是5-2.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.答案x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)解析设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1).10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23
7、,则圆M的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.综合提升组11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是()A.-1,1B.-12,12C.-2,2D.-22,22答案A解析如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切
8、,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使OMN=45,则OMNOMP=OMA,OMA45,AOM45.当AOM=45时,x0=1.结合图像知,当AOM45时,-1x01,x0的取值范围为-1,1.12.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B0,32,若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为.答案3解析由A(4,0),B0,32,OP=1,则P点轨迹为x2+y2=1,设M(x,y),则P(2x-4,2y)(2x-4)2+(2y)2=1(x-2)2+y2=14,M的轨迹为圆心为D(2,0),半径为12的圆,故BM的最大值为|BD|+12=52+1
9、2=3.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.解(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=4222,所以点Q在圆C外,所以|MQ|max=42+22=62,|MQ|min=42-22=22.(2)由题意可知n-3m+2表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则n-3m+2=k.因为直线MQ
10、与圆C有交点,所以|2k-7+2k+3|1+k222,所以2-3k2+3,所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.14.(2019河北邢台模拟,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.解(1)因为圆M的圆心M(-a,a)在直线y=x上,所以-a=a,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M相切,所以r=|-15|32+42=3,故圆M的方程为x2+y2=
11、9.(2)由(1)知,圆心M(0,0),A(-3,0),B(3,0).设P(x,y),因为点P在圆M内,所以x2+y29.因为|PM|2=|PA|PB|,所以x2+y2=(x+3)2+y2(x-3)2+y2,所以2x2-2y2=9.因为直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,所以k1=yx+3,k2=yx-3,则k1k2=y2x2-9=2x2-92x2-18=1+92x2-18.因为2x2-2y2=9,x2+y29,所以92x2274,所以-2912x2-18-19,则-11+92x2-180.故k1k2的取值范围为(-1,0.创新应用组15.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰
12、好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:若-2x2,则函数y=f(x)是偶函数;对任意的xR,都有f(x+2)=f(x-2);函数y=f(x)在区间2,3上单调递减;函数y=f(x)在区间4,6上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案解析当-2x-1,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的14圆,当-1x1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为2的14圆,当1x2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的14圆,当3x4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的14圆,函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图像如图所示.根
13、据图像的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,正确.由图像可知函数的周期是4.正确.函数y=f(x)在区间2,3上单调递增,错误.函数y=f(x)在区间4,6上是减函数,正确.故答案为.16.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,bR+,则1a+1+1b的最小值为.答案1解析曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆C上的点到(-6,6)的距离,则dmax=(2+6)2+(0-6)2+5=15,tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,1a+1+1b=141a+1+1b(a+1+b)=141+ba+1+a+1b+1.又ba+1+a+1b2ba+1a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,1a+1+1b144=1,即1a+1+1b的最小值为1.