1、专题08 全等三角形考查题型（本专题勾股定理部分的习题选做）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么变式：1）a=c- b2）b=c- a适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。知识点一 三角形全等l 题型一 已知两边，找夹角SAS典例1（2018春 南通市期中）如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC= 【答案】（1
2、）证明见解析；（2）75【详解】（1）AB=AC，B=ACF，在ABE和ACF中，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30，CAF=BAE=30，AD=AC，ADC=ACD，ADC=75，故答案为：75典例2（2019四川中考模拟）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF【答案】证明见解析.【详解】BE=CF，BE+EF=CF+EF，BF=CE，在ABF和DCE中，ABFDCE（SAS），GEF=GFE，EG=FG典例3（2018春 赣州市期末）已知，点P是等边三角形ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60到AQ，连接PQ、
3、QC（1）求证：PBQC；（2）若PA3，PB4，APB150，求PC的长度【答案】（1）证明见解析；（2）5.【详解】（1）证明：线段AP绕点A逆时针旋转60到AQ，AP=AQ，PAQ=60，APQ是等边三角形，PAC+CAQ=60，ABC是等边三角形，BAP+PAC=60，AB=AC，BAP=CAQ，在BAP和CAQ中，BAPCAQ（SAS），PB=QC；（2）解：由（1）得APQ是等边三角形，AP=PQ=3，AQP=60，APB=150，PQC=15060=90，PB=QC，QC=4，PQC是直角三角形，PC=5l 题型二 已知两边，找直角HL典例1（2017春 孝南区期中）如图，BD=
4、CF，FDBC于点D，DEAB于点E，BE=CD，若AFD=145，则EDF的度数为（ ）A45 B55 C35 D65【答案】B【解析】DFC+AFD=180，AFD=145，DFC=35，DEAB，DFBC，BED=CDF=90.在RtBDE与RtCFD中BE=CD，BD=CF，RtBDERtCFD，BDE=CFD=35.EDF+BDE=90，EDF=55.故选B.典例2（2018春 南昌市期末）如图，B=D=90，BC=CD，1=40，则2=（ ）A40B50C60D75【答案】B【解析】详解：B=D=90在RtABC和RtADC中，RtABCRtADC（HL）2=ACB=90-1=50
5、故选：B典例3（2017春 西城区期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A4B6C16D55【答案】C【解析】ACBECD90，DECECD90，ACBDEC，ABCCDE，ACCE，ABCCDE，BCDE.(如上图)，根据勾股定理的几何意义，b的面积a的面积c的面积，b的面积a的面积c的面积51116.故选C.题型三 已知两边，找第三边SSS典例1 （2019春 眉山市期末）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE的度数为何？（）A.115B.120C.125D.130【答案】C【解析】详解
6、：三角形ACD为正三角形，AC=AD，ACD=ADC=CAD=60，AB=DE，BC=AE，ABCDEA，B=E=115，ACB=EAD，BAC=ADE，ACB+BAC=BAC+DAE=180115=65，BAE=BAC+DAE+CAD=65+60=125，故选：C典例2（2018春 小店区期末）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与ABC全等的是（）A.ACFB.ACEC.ABDD.CEF【答案】C【详解】在ABC中，AB=，BC=，AC=2，A、在ACF中，AF=，2，则ACF与ABC不全等，故不符合题意； B、在ACE中，AE=3，3，32
7、，则ACE与ABC不全等，故不符合题意； C、在ABD中，AB=AB，AD=BC，BD=2=AC，则由SSS可证明ACE与ABC全等，故符合题意； D、在CEF中，CF=3，3，32，则CEF与ABC不全等，故不符合题意，故选C.典例3（2018春 杭州市期末）如图，OAOB，OCOD，ADBC，则图中全等三角形的对数有( )A1对B2对C3对D4对【答案】C【详解】解：OA=OB，OC=OD，ADBC，DOACOB（SSS）；OA=OB，OC=OD，AC=BD，AB=AB，ADBC，ABDBAC（SSS）；AD=BC，AC=BD，DC=CDADCBCD（SSS）故选：C典例4（2018富顺县
8、期中）如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（ ）A.49B.47C.45D.43【答案】B【详解】在ABC和ADE中，ABCADE(SSS)，ABC=1，BAC=2，在ABC中，由三角形的外角性质得，3=ABC+BAC=1+2，1+2+3=94，23=94，3=47.故选B.l 题型四 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS）典例1 如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BEAP于点E，DFAP于点F.（1）求证：EF=DFBE；（2）若ADF的周长为，求EF的长.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】详解：（1）证
9、明：BEAP，DFAP，DFA=AEB=90，ABE+BAE=90，四边形ABCD为正方形，AD=AB，DAB=90=DAF+BAE，DAF=ABE，在ADF和BAE中，DAF=ABE，DFA=AEB，AD=AB，ADFBAE（AAS），AF=BE，DF=AE，EF=AEAF=DFBE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DFAF=ab0，ADF的周长为，AD=1，DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，（ab）2=2（a2+b2）（a+b）2=2，ab=，即EF=.典例2 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，BCE=ACD=90，BAC=D
10、，BC=CE（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求DEC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）112.5【详解】证明： 在ABC和DEC中， （2）ACD90，ACCD，1D45，AEAC，3567.5，DEC1805112.5典例3（2017春 南阳市期中）如图所示，在ABC中，AB =AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF【答案】证明见解析.【解析】试题分析：证明：过点E作EGAF交BC于点G，DEG=F，BGE=BCA.AB=AC，B=BCA，B=BGE，BE=GE，BE=CF，GE=CF.在DEG和DFC中，DEGDFC，DE
11、=DF.l 题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS）典例1 （2017春 南京市期末）如图，线段AD、BE相交与点C,且ABCDEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点求证：（1）ME=BN； （2）MEBN【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）ABCDEC，AC=DC,BC=CE.点M、N分别为线段AC、CD的中点, CM=CN.在BCN和ECM中AC=DC, BCN=ECM,BC=CEBCNECM（SAS）ME=BN.（2）BCNECM，CBN=CEM,MEBN.典例2（2019春 连云港市期末）已知：如图：ABC是等边三角形，点D、E分别是边BC、
12、CA上的点，且BD=CE，AD、BE相交于点O（1）求证：ACDBAE；（2）求AOB的度数【答案】（1）证明见解析（2）120【解析】（1）ABC是等边三角形，BAC=C=60，BC=AC，BD=CE，BC-BD=AC-CE，AE=CD，在ACD和BAE中 ACDBAE（SAS）；（2）ACDBAE，CAD=ABE，AOE=BAD+ABE=BAD+CAD=BAC=60，AOB=180-60=120典例3 （2019春 济南市期中）如图，点E，F在AC上，AD/CB，AD=CB，AF=CE求证：D=B【答案】详见解析【详解】证明：AF=CEAF+EF=EF+CEAE=CF ，.l 题型六 已知
13、一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS）典例1（2019春 白云区期末）如图所示，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，(1)求证:ABDCFD；(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。【答案】（1）证明见解析；（2）3.【详解】（1）证明：ADBC，CEAB，ADB=CDF=CEB=90，BAD+B=FCD+B=90，BAD=OCD，在ABD和CFD中，ABDCFD（AAS），（2）ABDCFD，BD=DF，BC=7，AD=DC=5，BD=BCCD=2，AF=ADDF=52=3典例2 （2017 江宁区月考）如图，在ABCD中，E是BC的中点，连接
14、AE并延长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DEAF【答案】详见解析.【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDF，BAE=F，E是BC的中点，BE=CE，在AEB和FEC中， ，AEBFEC（AAS）， AB=CF； （2）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AB=CF，DF=DC+CF ，DF=2CF，DF=2AB，AD=2AB， AD=DF，AEBFEC，AE=EF，EDAF典例3（2018春 宿迁市期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，A=D，BCEF，求证：AB=DE【答案】见解析【详解】AF=CD，AC
15、=DF，BCEF，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AB=DEl 题型七 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的另一角ASA）典例1 （2018春 保定市期中）如图，在ABC和ADE中，AB=AD，B=D，1=2求证：BC=DE【答案】证明见解析.【解析】（1）1=2，DAC+1=2+DACBAC=DAE，在ABC和ADE中，ADEABC（ASA）BC=DE，典例2 （2018春 桑植县期末）已知：如下图，点A，F，E，C在同一直线上，ABCD，AB=CD，B=D求证：ABECDF.【答案】详见解析.【详解】证明：ABDC，AC在ABE和CDF中， ABECDF（AS
16、A）典例3 如图，AB，AEBE，点D在 AC 边上，12，AE和BD 相交于点O求证：AECBED；【答案】见解析【详解】AE和BD相交于点O，AOD=BOE在AOD和BOE中，A=B，BEO=2又1=2，1=BEO，AEC=BED在AEC和BED中， AECBED（ASA）l 题型八 已知两角，找两角的夹边ASA典例1 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，ABDE，ACDF，BFCE，求证：ACDF.【答案】详见解析.【详解】证明：ABDE，ACDF，ABC=DEF，ACB=DFEBF+FC=EC+CF，BF=CE，即BC=EF在ABC和DEF中 ABCDEF（
17、ASA）AC=DF典例2 （2018云南中考模拟）如图，在DAE和ABC中，D是AC上一点，AD=AB，DEAB，E=C求证：AE=BC【答案】见解析【详解】证明：DEAB，ADE=BAC在ADE和BAC中， ，ADEBAC（AAS），AE=BCl 题型九 已知两角，找任意一边AAS 典例1 （2018春 西湖区期末）已知：如图，点 E，F 在 BC 上，BECF，AD，BEDAFC，AF 与 DE交于点 O求证：OAOD【答案】见解析【解析】解：BECF，BEDAFC， BFCE，AFBCED， 又AD，ABFDCE(AAS)，AFDE，AFBCED，OEOF，AFOFDEOE， 即 OAO
18、D.典例2（2017重庆中考模拟）如图AF/DE，点B、C在线段AD上，连接FC、EB，且E=F，延长EB交AF于点G.（1）求证：BE/CF（2）若CF=BE，求证：AB=CD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）AF/DEAGB=E又E=FAGB=F，BE/CF（2）BE/CFDBE=ACFE=F, CF=BE，ACFDBE，AC=BD，AB=CD.典例3 （2019春 锦州市期末）如图，已知，在同一直线上，.试说明：.【答案】见解析；【详解】证明，即.在和中，（AAS）知识点二 角平分线的应用l 题型一 图中有角平分线，向两边作垂线典例1 （2019襄樊市月考）在ABC
19、中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF【答案】证明见解析.【详解】过D作DMAB于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分线性质），EAF+EDF=180，MED+AFD=360-180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND（AAS），DE=DF典例2 （2019襄樊市月考）在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF【答案】证明见解析.【详解】过D作DMAB于M，DNAC于N，
20、即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分线性质），EAF+EDF=180，MED+AFD=360-180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND（AAS），DE=DFl 题型二 角平分线加垂线，三线合一试试看典例1如图，已知AEFE，垂足为E，且E是DC的中点(1)如图，如果FCDC，ADDC，垂足分别为C，D，且ADDC，判断AE是FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图，如果(1)中的条件“ADDC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图，如果(1)中的条件改为“ADFC”，(
21、1)中的结论仍成立吗？请说明理由【答案】（1）AE是FAD的角平分线（2）成立（3）成立【详解】（1）AE是FAD的角平分线；（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，E是DC的中点，EC=ED，FCDC，ADDC，FCE=EDB=90，在FCE和BDE中，,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分线；（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，AD=DC，FCE=EDB，在FCE和BDE中，,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分线.l 题型三 角平分线平行线，等腰三角形来填典例1 （2017春 赣州市期末）如图，在ABC中，ABC与ACB
22、的平分线交于点O，过点O作DE/BC，分别交AB,AC于点D,E,若AB=4，AC=3，则ADE的周长是_。【答案】7【解析】解：BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，BD=DO，同理OE=EC，ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7故答案为：7典例2 （2018江苏中考模拟）如图，ABCD，CB平分ACD，ABC=35，则BAE=_度.【答案】70【详解】ABCD，ABC=35，BCD=B=35，CB平分ACD，BAE=2BCD=70故正确答案为：70.l 题型四 图形对折问题典例1 （2017 丹阳市月考）如图a是长方形纸带，DEF=25
23、，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是_【答案】105【解析】由图a知，EFC=155.图b中，EFC=155，则GFC=EFC-EFG=155-25=130.图c中，GFC=130，则CFE=130-25=105. 故答案为：105.典例2 （2019 道外区期末）如图a是长方形纸带（提示：ADBC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c（1）若DEF20，则图b中EGB_，CFG_；（2）若DEF20，则图c中EFC_；（3）若DEF，把图c中EFC用表示为_；（4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中DEF的度数是多少【答案】（1）40，140；（2）120；（3）1803；（4）18【详解】（1）长方形的对边是平行的，BFEDEF20，EGBBFE+DEF40，FGDEGB40，CFG180FGD140；故答案为：40，140；（2）长方形的对边是平行的，BFEDEF20，图a、b中的CFE180BFE，以下每折叠一次，减少一个BFE，图c中的EFC度数是120；故答案为：120；（3）由（2）中的规律，可得CFE1803故答案为：1803；（4）设图a中DEF的度数是x，由（2）中的规律，可得180(9+1)x0解得：x18故答案为：18