1、函数的应用题型一 一次函数【例1】（全国高一专题练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A310元B300元C290元D280元【答案】B【解析】设函数解析式为，函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则 解得所以，当x0时，y300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元答案：B【题型专练】1（临朐县实验中学高一月考）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”
2、其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）A2斤B斤C斤D斤【答案】C【解析】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.由题得.即故选：C2（广东）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认yx）Ay10x(0x5)By102x(0x10)Cy20x(0x5)Dy202x(0xx，所以0x5.所以函数解析式为.故选：A3（广东深圳中学）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )ABCD【答案
3、】A【解析】由题设有，由得，故选A.题型二 二次函数【例2】（全国高一课时练习）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A90万元B60万元C120万元D120.25万元【答案】C【解析】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，当或10时，最大，为120万元.故选C.【题型专练】1（全国高一月考）若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（ ）ABCD【答案】C【解析】矩形另一边长为，且有，面积为，所以，当时，取最大值故选：C.【点睛】本题考查二次函数模型的应用，涉及二次函数最值的求解，
4、考查计算能力，属于中等题.2（湖南高一期末）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟【答案】3.75(或)【解析】由题意函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），a=0.2，b=1.5，c=2.2，p=0.2t2+1.5t2.2=0.2（t3.75）2+0.6125，得到最佳加工时间为3.75分钟故答案为3.753（3.4函数的应用-【新教材】人教
5、A版（2019）高中数学必修第一册限时作业）如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.则矩形的面积关于的函数解析式为_.【答案】【解析】在直角中，所以，所以矩形的面积关于的函数解析式为.题型三 分段函数【例3】（全国高一课时练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总
6、收益=总成本+利润）【答案】（1）（2）当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元【解析】（1）由题意，当时，；当时，；故（2）当时，；当时，（元当时，（元，当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元【题型专练】1（全国高一课时练习）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过元超过但不超过的部分元超过的部分元若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量【答案】【解析】设此户居民本月用水量为，当时，解得，不满足题意；当时，解得，满足题意；当时，解得，不满足题意，综上所述，此户居民本月用水量为.2（全国高一课时练习）某旅
7、游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)（1）求函数的解析式；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【答案】（1）；（2）日租金定为元时，日净收入最多，为元.【解析】（1）由题知：当时，令，解得，因为，所以，.当时，.所以.（2）
8、当，且时，为增函数，所以元.当，且时，当时，元.综上所述，当每日自行车日租金定为元时，日净收入最多，为元.3（全国高一课时练习）某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象【答案】见解析【解析】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：车速v()表示为时间的函数：图像如图4（阜新市第二高级中学高一期末）通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意
9、力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中?(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?【答案】（1）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（2）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；（3）经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.【
10、解析】(1)当0t10时,f(t)=t2+24t+100=(t12)2+244是增函数,且f(10)=240；当20t40时,f(t)=7t+380是减函数，且f(20)=240.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟(2)f(5)=195,f(25)=205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中(3)当0t10时,f(t)=t2+24t+100=180，则t=4；当2024，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题题型四 基本不等式【例4】（浙江）用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为ABCD【答案】C【解析
11、】设矩形模型的长和宽分别为，则，由题意可得，所以，所以矩形菜园的面积，当且仅当时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为时，面积最大，为故选：【题型专练】1（峨山彝族自治县）如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？【答案】（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.【解析】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲
12、区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，因此矩形所占面积，（2）当且仅当时取等号，此时因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.2（全国高一课时练习）要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？【答案】长度应该在内【解析】设水池的长为，宽为；总造价为元；则，故；则；解得，；故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内3（肇庆市外国语学校高一月考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙
13、的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（）将y表示为x的函数；（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【答案】（）y=225x+ （）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）当且仅当225x=时，等号成立即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元