1、单元检测(三)导数及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)12021山西运城市期中已知函数f(x)x22f(1)lnx，则f(1)()A2B1C2D122021广东揭阳市期中函数f(x)xexx22x极大值点为()A1B(1，1e1)Cln2D(ln2，ln22)32021山东泰安市期中函数f(x)x327x在区间4，2上的最大值是()A46B54C54D464设函数f(x)lnx，则()Af(x)的极大值为4ln2Bf(x)的极小值为4ln2Cf(x)的极大值为1ln2Df(x)的极小值为1ln252022广东高二期末曲线
2、yx32x2在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2By3x2Cy2x3Dyx62022福建省厦门测试如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx6，则f(3)f(3)()AB1C2D072021咸阳百灵学校期中若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()ABCD82022汕头市东方中学模拟已知函数f(x)x1lnx，对定义域内任意x都有f(x)kx2，则实数k的取值范围是()ABCD9已知函数f(x)alnxx2，aR，若f(x)在1，e2上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是()AB2e2C2eD102022江西上高二中月考已知函数f(x)ax24axln
3、x，则f(x)在(1，3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是()AaBaCaDa112022吉林延边模拟如果对定义在R上的偶函数f(x)，满足对于任意两个不相等的正实数x1，x2，都有0，则称函数yf(x)为“F函数”，下列函数为“F函数”的是()Af(x)e|x|B.f(x)ln|x|Cf(x)x2Df(x)x|x|122022南京市模拟已知f(x)alnxx2(a0)若对于任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是()A(0，1 B1，)C(3，3 D1，2e)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若曲线yax2lnx在点(1，a)
4、处的切线平行于x轴，则a_142022河南南阳模拟对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：f(x)是函数f(x)的导函数，f(x)是f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，根据这一发现，可求得fff_152022赣州市赣县模拟已知函数f(x)ax3x2xxlnx存在两个极值点，则实数a的取值范围是_162022重庆市万州模拟已知函数f(x)axlnx(a0).(1)当a1时，f(x)的极小值为_；
5、(2)若f(x)ax在(0，)上恒成立，则实数a的取值范围为_三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)2022贵阳市检测已知函数f(x)lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).18(本小题满分12分)2022安徽省联考已知函数f(x)(a1)lnxx.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点19(本小题满分12分)2022长春市质量监测已知函数f(x)x3x2mxm.(1)若x1为f(x)的极值点，且f(x1)f(x2)(x1x2
6、)，求2x1x2的值；(2)求证：当m0时，f(x)有唯一的零点20(本小题满分12分)2022河北张家口阶段测试已知函数f(x)lnxax2bx.(1)若函数f(x)在x2处取得极值ln2，求a，b的值；(2)当a时，函数g(x)f(x)bxb在区间1，3上的最小值为1，求g(x)在该区间上的最大值21(本小题满分12分)2022衡水武邑调研设函数f(x)lnx，g(x)xexx1.(1)若关于x的方程f(x)x2m在区间1，3上有解，求m的取值范围；(2)当x0时，g(x)af(x)恒成立，求实数a的取值范围22(本小题满分12分)2022四川南充适应性测试已知函数f(x)aex1，其中a
7、0.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有唯一零点，求a的值单元检测（三）导数及其应用1答案：A解析：f（x）x22f（1）lnx可得f（x）2x，则f（1）22f（1），故f（1）2.2答案：A解析：因为f（x）xexx22x，所以f（x）exxex2x2（x1）（ex2），由f（x）0可得xln2或x1；由f（x）0可得1x0；当3x2时，f（x）0，解得：xe2，令g（x）0，解得：0xe2，g（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，）上单调递增，故g（x）的最小值是g（e2）1，故k1.选项A正确，选项BCD错误9答案：C解析：当x1时
8、，f（x）10，从而分离参数可将问题转化为直线ya与函数g（x）的图象在（1，e2上有且只有一个交点，令g（x）0，得x，易得g（x）在（1，）上单调递增，在（，e2上单调递减，由于g（）2e，g（e2），当x1时，g（x），所以直线y2e，或位于y下方的直线满足题意，即a2e或a，故选C.10答案：D解析：f（x）2ax4a，令g（x）2ax24ax1，若f（x）在（1，3）上不单调，则函数g（x）2ax24ax1在（1，3）有零点，且在该零点的两侧附近异号，a0时，显然不成立，a0时，此时g（x）图象的对称轴为x1，则有g（1）g（3）0，即（2a1）（6a1）0，解得a，即a.四个选项中
9、，只有为的真子集11答案：C解析：不妨设x1x20，因为对于任意两个不相等的正实数x1，x2，都有0，所以x1f（x1）x2f（x2），令g（x）xf（x），则g（x）在（0，）上单调递增，当x0时，A：g（x）xe|x|，则g（1），g（2），g（1）g（2），不满足g（x）在（0，）上单调递增，所以选项A错误；B：g（x）xln|x|xlnx，则g2可知0，令g（x）f（x）2xalnxx22x（a0），由0知g（x）为增函数，所以g（x）x20（x0，a0）恒成立，分离参数得ax（2x），而当x0时，x（2x）在x1时有最大值为1，故a1.13答案：解析：因为y2ax，所以y|x12a1
10、.因为曲线在点（1，a）处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，a.14答案：2015解析：依题意，得：f（x）x2x3，f（x）2x1由f（x）0，即2x10.x，f1，f（x）x3x23x的对称中心为f（1x）f（x）2，fff2015.15答案：解析：由题意得f（x）3ax2xlnx，因为函数f（x）有两个极值点，所以f（x）有两个正数零点由f（x）0得3ax2xlnx，即3a，令g（x），则g（x），易知函数yx12lnx是减函数，且当x1时，y0，所以当0x0，g（x）单调递增；当x1时，g（x）0，g（x）单调递减故g（x）maxg（1）1，又当0x时，g（x）1时，g（x）
11、0，所以要使f（x）有两个零点，需03a1，即0a0），f（x）lnx1，f（x）0，故f（x）在（0，）单调递增，而f（1）0，故x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，故f（x）极小值f（1）1；（2）若f（x）ax在（0，）上恒成立，即a（1lnx）在（0，）恒成立，1lnx0即xe时，a0，（1lnx）0，0，故a（1lnx）在（0，）恒成立，1lnx0即0xe时，即为a在（0，）恒成立，即a，只需求出g（x）x2（1lnx）的最大值即可，（0x0，解得：0x，令g（x）0，解得：x0得0x1，由f（x）1，f（x）1lnx在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减（2）由（1
12、）得f（x）在上单调递增，在（1，e上单调递减，f（x）在上的最大值为f（1）1ln10.又f1eln2e，f（e）1lne，且ff（e）.f（x）在上的最大值为0，最小值为2e.18解析：（1）当a1时，f（x）x，f（2），f（x）1，所以所求切线的斜率kf（2）1.故所求的切线方程为y（x2），即3x4y40.（2）yf（x）的定义域为（0，），f（x）1.若a0，当x（0，1）时，f（x）0.所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，）上单调递增此时，f（x）的极小值点为x1.若a0，令f（x）0，得xa或x1.（）当1a0时，0a0，若x（a，1），则f（x）0.所以f（x）在（0
13、，a）和（1，）上单调递增，在（a，1）上单调递减此时，f（x）的极小值点为x1，极大值点为xa.（）当a1时，f（x）0对x（0，）恒成立，所以f（x）在（0，）上单调递增，f（x）无极值点（）当a1，若x（0，1）（a，），则f（x）0；若x（1，a），则f（x）0，m0），可知f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，）上单调递减，满足f（x）在x2处取得极值，所以a，b0.（2）当a时，g（x）lnxx2b.对g（x）求导，得g（x）.当x1，2）时，g（x）0，当x（2，3时，g（x）0，所以g（x）ming（1）b1，解得b，所以g（2）ln2.于是函数g（x）在区间1，3上的最大值
14、为g（2）ln2.21解析：（1）方程f（x）x2m，即为lnxx2m.令h（x）lnxx2（x0），则h（x）2x0在x1，3恒成立，故h（x）在1，3上单调递减h（1），h（3）ln3，当x1，3时，h（x），m的取值范围是.（2）依题意，当x0时，g（x）f（x）a恒成立令F（x）g（x）f（x）xexlnxx1（x0），则F（x）（x1）ex1（xex1）.令G（x）xex1，则当x0时，G（x）（x1）ex0，函数G（x）在（0，）上单调递增G（0）10，G（x）存在唯一的零点c（0，1），且当x（0，c）时，G（x）0，则当x（0，c）时，F（x）0，F（x）在（0，c）上单调递减
15、，在（c，）上单调递增，从而F（x）F（c）ceclncc1.由G（c）0得cec10，cec1，两边取对数得lncc0，F（c）0，F（x）F（c）0，a0，即实数a的取值范围是（，0.22解析：（1）当a2时，f（x）2ex1，f（x）2ex，f（0）211.又f（0）211，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1x，即xy10.（2）原问题等价于关于x的方程a有唯一的解时，求a的值令g（x），则g（x）.令h（x）12xex，则h（x）2ex0，即g（x）0，g（x）在（，0）上单调递增；当x（0，）时，h（x）0，即g（x）0，当关于x的方程a有唯一的解时，a1，即当函数f（x）有唯一零点时，a的值为1.