1、3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学习目标：1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度(易混点).2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点).3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(难点)自 主 预 习探 新 知1函数的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率思考：观察函数yf(x)的图象，平均变化率表示什么？图
2、311提示表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率2瞬时变化率(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当t0到t0t时，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率为趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度(2)函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率3函数在某一点处的导数与导函数(1)函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化
3、率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0) .(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为f(x)(或yx、y)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|.思考：f(x0)与f(x)表示的意义一样吗？提示f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，是一个确定的值f(x)是f(x)的导函数，它
4、是一个函数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值基础自测1思考辨析(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x，函数值的增量y可以为任意实数()(2)对于函数f(x)，若x1x2，平均变化率可以表示为.()(3)函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数()提示(1)x可正、可负，但不能等于零，y可以为任意实数(2)(3)不一定存在导数的点x0首先在区间内部，不能是区间端点，其次当x0时，趋近于一个常数如函数f(x)，在x0处就不存在导数因为，当x趋近于0时，导数越来越大，无法趋近于一个确定的值2已知函数f(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为() 【导学号：73122201
5、】A0.40B0.41C0.43 D0.44B由yf(x2)f(2)(0.12)240.41，知选B.3质点按规律s(t)at1运动，若t2时刻的瞬时速度为，则a的值为_ a合 作 探 究攻 重 难函数的平均变化率(1)已知函数f(x)2x23x5.求：当x14，x25时，函数增量y和平均变化率；求：当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率.(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？【导学号：73122202】解(1)因为f(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3
6、x2(x)2(4x13)x.2x4x13.当x14，x25时，x1，y2(x)2(4x13)x21921，21.当x14，x24.1时，x0.1，y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.2x4x1319.2.(2)在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大规律方法求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(2)再计算自变量的改变量xx2x1；(3)得平均变化率.跟踪训练1(1)已知函数f(x)x22x5的图象上的一点
7、A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，则_.(2)如图312所示是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_图312(1)x(2)(1)x.(2)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.由函数f(x)的图象知，f(x)所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.导数的定义及求函数在某点处的导数(1)若 k，则 等于()A2kBkC.kD以上都不是(2)求函数y在x1处的导数【导学号：73122203】思路探究(1)严格按照导数定义推导求解(2)解(1) k， ，2 2k.答案(1)A(2)法一：(定义法)y1，当x无限趋
8、近于0时，趋近于，即y在x1处的导数是.y|x1.法二：(求导函数的函数值法)y，当x无限趋近于0时，趋近于，当x1时导函数值为，即y|x1. 规律方法(1)用导数定义求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤：求函数的增量yf(x0x)f(x0)；求平均变化率；取极限，得导数f(x0).(2)求函数在某点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算此点处的导数值.提醒：可以简记为：一差、二比、三极限.跟踪训练2已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.解f(x0) (6x03x)6x0，又f(x0)6，6x06，即x01.求物体运动的瞬时速度探究问题1平均变化率与瞬时变化率有什么联系？提示区别：平均
9、变化率刻画函数值在区间x1到x2这一段上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值2x趋近于0的含义是什么？提示x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.3导数与瞬时变化率有什么关系？提示：导数是函数在x0及其附近函数的改变量y与自变量的改变量x之比的极限，它是一个局部性的概念，若 存在，则函数yf(x)在x0处有导数，否则不存在导数某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度. 【导
10、学号：73122204】思路探究解3t， (3t)3.物体在t1 s处的瞬时变化率为3，即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)若本例条件不变，试求物体的初速度解1t， (1t)1.物体在t0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2(变结论)若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，2t01t， (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.规律方法(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
11、求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)求平均速度.求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即vs(t0)当 堂 达 标固 双 基1已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于 ()A4B4xC42x D42(x)2C42x.2一质点的运动方程是s42t2，则在时间段1,1t内相应的平均速度为() 【导学号：73122205】A2t4 B2t4C4 D2t24tB2t4.3如果某物体做运动方程为s2(1t2)的直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，那么它在1.2 s末的瞬时速度为()A0.88 m/s B0.88 m/sC4.8 m/s D4.8 m/sC在1.2 s时的瞬时速度即为s在t1.2处的导数，由于s(t0) 4t0，所以s(1.2)41.24.8(m/s)4当h无限趋近于0时， _.6 (6h)6.5求函数y在x1处的导数【导学号：73122206】解y1，所以函数在x1处的导数 1.