1、1求(1)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差解：由(1)20Tr1C()r(1)rCx.所以1r2x的系数为C，9r18x9的系数为C.所以CCCC0.2若的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中的有理项解：令x1，则22n1 024，解得n5.Tr1C(3x)5rC35rx，有理项即使为整数，r0、r2、r4，有3项，即T1243x5，T3270x2，T515x1.3已知(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项解：由题意知，第五项系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则有，化简得n25n240，
2、解得n8或n3(舍去)(1)令x1得各项系数的和为(12)81.(2)通项Tk1C()8kC(2)kx2k，令2k，则k1，故展开式中含x的项为T216x.4二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，
3、求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CCCC种，后排有A种，共有(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先取后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，选出的3人全排有A种，共CCA360种6已知的展开式中，前三项系数成等差数列(1)求n；(2)求第三项的二
4、项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数解：(1)因为前三项系数1，C，C成等差数列所以2C1C，即n29n80.所以n8或n1(舍)(2)由n8知其通项Tr1C()8rCx4r，r0，1，8.所以第三项的二项式系数为C28.第三项系数为C7.(3)令4r1，得r4，所以含x项的系数为C.74个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个
5、球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCCA144种(2) “恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法故共有C84种8(2016南京、盐城模拟)已知m，nN*，定义fn(m).(1)记amf6(m)，求a1a2a12的值；(2)记bm(
6、1)mmfn(m)，求b1b2b2n所有可能值的集合解：(1)由题意知，fn(m)所以am所以a1a2a12CCC63.(2)当n1时，bm(1)mmf1(m)则b1b21.当n2时，bm又mCmnnC，所以b1b2b2nnCCCC(1)nC0.所以b1b2b2n的取值构成的集合为1，01已知(2x)50a0a1xa2x2a50x50，其中a0，a1，a2，a50是常数，计算(a0a2a4a50)2(a1a3a5a49)2.解：设f(x)(2x)50，令x1，得a0a1a2a50(2)50，令x1，得a0a1a2a50(2)50，(a0a2a4a50)2(a1a3a5a49)2(a0a1a2a
7、50)(a0a1a2a50)(2)50(2)501.2求证：(1)32n28n9能被64整除(nN*)；(2)3n(n2)2n1(nN*，n2)证明：(1)因为32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n99(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n所以32n28n9能被64整除(2)因为nN*，且n2， 3n(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1.3(2016盐城调研)已知f(x)(2)n，其中nN*.(1)若展开式中x3的系数为14，
8、求n的值；(2)当x3时，求证：f(x)必可表示成(sN*)的形式解：(1)因为Tr1C2nrx.令3得r6，故x3项的系数为C2n614，解得n7.(2)证明：由二项式定理可知(2)nC2nC2n1C2n2()2C2nr()rC()n(C2nC2n2()2)(C2n1C2n33)令x0C2nC2n2()2，y0C2n1C2n33，显然x0N*，y0N*.则(2)nx0y0，(2)nx0y0，所以(2)n(2)nx3y1.令sx，则必有s1x13y.从而f(x)必可表示成的形式，其中sN*.4编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在
9、1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，此时有A6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，此时有A6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有AA18种不同的放法综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有661830种5(2016南京四校调研
10、)设f(x)(1x)(12x)(1nx)(其中nN*且n2)，其展开后含xr项的系数记作ar(r0，1，2，n)(1)求a1(用含n的式子表示)；(2)求证：a2C.解：(1)a112n.(2)证明：法一：当n2时，f(x)(1x)(12x)13x2x2，此时a22.又C2C2，所以命题成立假设当nk(k2，kN*)时，命题成立，即a2C.则当nk1时，a2C1(k1)2(k1)k(k1)C(k1)(k1)(3k2k212k12)(k2)(3k5)C.即当nk1时，命题也成立综上，对任意nN*且n2，a2C.法二：由题意知a212131n23242n(n1)nC.6(2016南京六校联考)g(
11、x)Cfx0(1x)nCfx1(1x)n1Cfx2(1x)n2Cfxn(1x)0.(1)若f(x)1，求g(x)；(2)若f(x)x，求g(x)解：(1)因为f(x)1，所以fff1, 所以g(x)Cx0(1x)nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)0(1x)xn1. 因为00无意义，所以g(x)1，且x0，x1，xR. (2)因为rCrnnC，其中r1，2，n.所以rCnC(r1，2，n ). 又因为f(x)x，所以g(x)C0x0(1x)nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)0Cx1(1x)n12Cx2(1x)n2rCxr(1x)nrnCxn(1x)0nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2 Cxr(1x)nrCxn(1x)0xCx0(1x)n1Cx1(1x)n2Cxr1(1x)(n1)(r1)Cxn1(1x)0 x(1x)xn1x.即g(x)x，且x0，x1，xR.