1、7.3*复数的三角表示课后篇巩固提升基础达标练1.将复数z=3化成代数形式为;|z|=.解析z=3(0-i)=-3i,|z|=3.答案-3i32.将复数z=-2+2i化成三角形式是.解析模长|z|=4,设辐角为,tan =-,且点(-2,2)在第二象限,得辐角主值为,故z=4.答案43.2(cos 60+isin 60)3=.解析原式=23cos(603)+isin(603)=8(cos 180+isin 180)=-8.答案-84.计算:4(cos 80+isin 80)2(cos 320+isin 320).解4(cos 80+isin 80)2(cos 320+isin 320)=cos
2、(80-320)+isin(80-320)=2cos(-240)+isin (-240)=2=-1+i.5.已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=6cos+isin=3=3i.首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.6.已知复数z=r(cos +isin ),r0,求的三角形式.解cos(0-)+isin(0-)=cos(-)+isin(-).能力提升练1.莱昂哈德欧拉发现并证明了欧拉公式ei=cos +isin ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的取作就得到了
3、欧拉恒等式ei+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:ei=cos +isin ,解决以下问题:(1)试将复数写成a+bi(a,bR,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数的模.解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini.(2)由题意可知i+=1+i,因此,.2.复数z=-1+的辐角主值为.解析因为=i,所以=i2 021=i.所以z=-1+i=cos+isin,所以复数z的辐角主值为.答案3.(3i)=.解析原式=3cos+isin=cos+isin3cos
4、+isin=cos+isin3cos+isin=cos+isin=-i.答案-i4.已知复数z的模为2,实部为,求复数z的代数形式和三角形式.解由题意,可设z=+bi(bR).|z|=2,=2,解得b=1,z=+i或z=-i.化为三角形式,得z=2cos+isin或z=2cos+isin.5.计算下列各式的值:(1)2cos+isin;(2)3(cos 63+isin 63)2(cos 99+isin 99)5(cos 108+isin 108).解(1)2cos+isin=cos+isin2cos+isin=2(cos +isin )=-2.(2)3(cos 63+isin 63)2(cos
5、 99+isin 99)5(cos 108+isin 108)=30(cos 270+isin 270)=-30i.6.求证:=cos -isin .证明左边=cos(-)+isin(-)=cos -isin =右边.素养培优练已知k是实数,是非零复数,且满足arg =,(1+)2+(1+i)2=1+k.(1)求;(2)设z=cos +isin ,0,2),若|z-|=1+,求的值.解(1)arg =,可设=a-ai(aR),将其代入(1+)2+(1+i)2=1+k,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,解得=-1+i.(2)|z-|=|(cos +1)+(sin -1)i|=.|z-|=1+,=1+,化简得cos=1.+2+,+=2,即=.
