1、山东省滨州市博兴县第三中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 已知空间两点，则线段的长度为（ ）A. 6B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间中两点间距离公式计算即可.【详解】因为，所以根据空间中两点间距离公式得.故选：A.【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式，属于基础题.2. 如图，点，分别是正方体的棱，的中点，则异面直线和所成的角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过平移的方法作出直线和所成的角，并求得角的大小.【详解】依题意点，分别是正方体的棱，的中点，连接，结合正方体的性质可知
2、，所以是异面直线和所成的角，根据正方体的性质可知，是等边三角形，所以，所以直线和所成的角为.故选：C【点睛】本小题主要考查线线角的求法，属于基础题.3. 直线恒过一定点，则该定点的坐标（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】合并同类项后确定定点坐标.【详解】由得，所以，解得，所以定点坐标为.故选：B【点睛】本小题主要考查直线过定点，属于基础题.4. 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）A. 4B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由两直线平行，可求得m的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以，解得m=2，将6x
3、+2y+1=0化为3x+y+=0，由两条平行线间的距离公式得d=，故选：D.【点睛】本题考查已知直线平行求参数、两平行线间距离，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.5. 过点且与原点距离最远的直线为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，求出，从而过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，由此能求出过点且与原点O距离最远的直线方程.【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A.【点睛】本题考查点到直线方程的求法，考查点到直线的距离、直线与直线垂直等
4、基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6. 若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1) .设平面ABC的一个法向量为，由得：.令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.故选：.【点睛】本题考查空间中点到平面的距离，关键考查运算能力，属于基础题.7
5、. 圆的圆心和半径分别是（ ）A. ，2B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用配方法求得圆心和半径.【详解】由，得，所以圆心，半径为.故选：D【点睛】本小题主要考查根据圆的一般方程求圆心和半径.8. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=,则AA1与平面AB1C1所成的角为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角【详解】以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1 为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：则A1（0，0，），A（0，0，0），B1（
6、0，2，），C1（2，0，）则 设平面AB1C1的法向量为 则 ，令 可解得 所以设AA1与平面AB1C1所成的角为 ，则AA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为 因为 所以 所以选A【点睛】本题考查了空间向量线面夹角的求法，注意直线与平面夹角的取值范围，属于基础题二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 给出下列命题，其中正确命题有（ ）A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C. ，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，共面D. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】【分析】根据空间基底的
7、概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10. 已知直线和直线垂直，则（ ）A. B. 1C
8、. 2D. 【答案】BC【解析】【分析】先求出直线的斜率，直线的斜率，再建立方程求解即可.【详解】直线：和直线：垂直，直线的斜率为，直线的斜率为，则，即，解得或，经检验成立故选：BC【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题11. 下列说法正确的是（ ）A. 直线xy2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1)C. 过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为D. 经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y2=0【答案】AB【解析】【分析】求出截距得到三角形的面积判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；直线的两点式方
9、程判断C的正误，利用截距相等判断D的正误.【详解】解：直线xy2=0在两坐标轴上截距分别为：2，2，与坐标轴围成的三角形的面积是：2=2，所以A正确；点(0，2)与(1，1)的中点坐标(，)满足直线方程y=x+1，并且两点的斜率为：1，所以点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1)，所以B正确；当x1x2，y1y2时，过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为，所以C不正确；经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y2=0或y=x，所以D不正确；故选：AB.【点睛】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法对称知识以及直线的截距的应用，是易错题.12. 如图所示，是
10、四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据图像，利用向量的线性运算法则，分别验算四个选项即可求解.【详解】由已知得，分析各个选项：对于A，利用向量的四边形法则，A错；对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得，B对；对于C，因为点在线段上，且，所以，所以，C错；对于D，D对故选：BD【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知空间向量，设，与垂直，则_【答案】【解析】【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出，根据即可得出结果.【详解】，化简得，又，故答案为
11、：.【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积的公式的应用，求出，的值，是解题的关键.14. 若直线：与：平行，则的值为_【答案】-7【解析】【分析】由已知条件可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，代入直线方程验证即可.【详解】因为,所以有，解之得,或.当时，直线重合,舍去.【点睛】本题主要考查两直线平行的判定条件，属于基础题型.15. 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，棱AB、AD、AA1的长均为1，A1ADA1ABDAB，则对角线AC1的长为_【答案】【解析】【分析】由题知：，再给式子平方即可求出的长度【详解】如图，由题意可知，所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法
12、求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.16. 已知，若，三向量共面，则_【答案】5【解析】【分析】利用共面向量基本定理列坐标关系，求解即可.【详解】，三向量共面，则存在，使得，则，即，解得.故答案：5.【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用和线性运算的坐标表示，属于基础题.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，4)(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程【
13、答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据中点坐标公式求出中点的坐标，根据斜率公式可求得的斜率，利用点斜式可求边上的中线所在直线的方程；（2）先根据斜率公式求出的斜率，从而求出边上的高所在直线的斜率为，利用点斜式可求边上的高所在直线的方程.试题解析：（1）由B(10，4)，C(2，4)，得BC中点D的坐标为（6，0）， 所以AD的斜率为k8， 所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y08(x6)， 即8xy480 （2）由B(10，4)，C(2，4)，得BC所在直线的斜率为k1， 所以BC边上的高所在直线的斜率为1， 所以BC边上的高所在直线的方程为y8(x7)，即xy15018
14、. 如图，正方体中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论；（2）取中点O，连接OF，OA，则为异面直线与EF所成角，由余弦定理，可得结论；【详解】（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2，F为BCC1B1中心，E为AB中点，FH平面ABCD，FH=1，EH=，FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FHEH，所以直线EF与平面ABCD所成角的正切值为（2）取中点
15、O，连接OF，OA，则OFAE，且OF=AE，四边形AEFO为平行四边形，AOEF，AOA1为异面直线A1C与EF所成角，AOA1中，由余弦定理得，异面直线A1C与EF所成角的余弦值为19. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为（1）求顶点和的坐标；（2）求外接圆的一般方程.【答案】（1）和；（2）【解析】【分析】（1）联立直线与直线的方程可得点的坐标，由，进而设出直线的方程，将的坐标代入得方程，再与直线方程联立即可得点的坐标；（2）由（1）知，的坐标，设外接圆的一般方程，代入求解即可.【详解】（1）由可得顶点, 又因为得， 所以设的方程为， 将代入得由可得顶点为 所以和的坐标分
16、别为和 （2）设的外接圆方程为， 将、和三点的坐标分别代入，得，解得，所以的外接圆的一般方程为.【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.20. 如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，由此求得二面角的大小.（2）通过平面的法向量、直线的方向向量，计算出点到平面的距离.【详解】（1）以为原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，由已知可得，设平面的一个法向量为，由，得，令，则.所以，取平面的
17、一个法向量为，设二面角的大小为，由图可知为锐角.，即二面角的大小为（2）由（1）知平面的一个法向量为，又，点到平面的距离【点睛】本小题主要考查二面角、点面距的求法，属于中档题.21. 如图，面积为8的平行四边形，为原点，点的坐标为，点，在第一象限（1）求直线的方程；（2）若，求点的横坐标【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设出直线的方程，根据平行四边形的面积、点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程.（2）结合在直线上以及列方程组，解方程组求得点的横坐标.【详解】（1）依题意，设直线的方程为，即设原点到直线的距离为，由于平行四边形的面积为，所以.由点到直线的距离公式得到直线的距离
18、为，解得，由于在第一象限，所以.所以直线的方程为.（2）设，由于，所以，解得或.即点的横坐标为或.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式，属于中档题.22. 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD平面CDE；（3）求二面角A-CD-E的余弦值【答案】（1）与成角；（2）见解析；（3）二面角 的余弦值为【解析】【详解】分析：（1）先证明，则（或其补角）为异面直线与所成的角，在中求出此角即可；（2）欲证平面平面，即证平面，根据线面垂
19、直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直即可，易证 ；（3）设为的中点，连接易证为二面角 的平面角，在 中求出此角即可详解：（1）由题，四边形是平行四边形， 或其补角为与所成角 ，取AD中点P连结 和，FEAP FAEP同理ABPC 又FA平面ABCD EF平面ABCDEPPC、EPAD ，由 ，设 则 ，CED=60o与成角；（2）为中点， 连结，则 又 平面 ， 又 ，平面平面，（3）设为的中点，连接 同理为二面角的平面角，在 中，二面角的余弦值为点睛：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力属中档题.
