1、1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x
2、2y10.【知识拓展】1若a与b不共线，ab0，则0.2设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，则ab.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()1设e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空
3、间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对答案A2(教材改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)答案C解析a1a2an1an(3，4)3(2015课标全国)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量等于()A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4)答案A解析(3,1)，(4，3)，(4，3)(3,1)(7，4)4已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则
4、_.答案解析由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与a2b共线，即n2m12m8n，.5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_答案(1,5)解析设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得题型一平面向量基本定理的应用例1在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案C解析a，b，ab.E是OD的中点，DFAB.()()ab，ababab，故选C.思维升
5、华平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设k，kR.因为kk()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A. B.C. D.(2)已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，则2ab等于()A(4,0) B(0,4)C
6、(4，8) D(4,8)答案(1)D(2)C解析(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)因为向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，所以142m0，即m2，所以2ab2(1，2)(2,4)(4，8)思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则(1)(2016北京东城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A(2，) B
7、(2，)C(3,2) D(1,3)答案(1)4(2)A解析(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.(2)设D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故选A.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64
8、(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)命题点2利用向量共线求参数例4(2016郑州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，则锐角_.答案45解析由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，cos 或cos ，又为锐角，45.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1
9、)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(2)设(2,4)，(a,2)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_答案(1)(2,4)(2)解析(1)在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2
10、y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)(2)由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(当且仅当ba时，等号成立)11解析法(坐标法)在向量中的应用典例(12分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示
11、，则A(1,0)，B(，)4分设AOC(0，)，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，8分所以xycos sin 2sin()，10分又0，所以当时，xy取得最大值2.12分1(2016江西玉山一中期考)如图，在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，若，则的值为()A. B. C. D1答案C解析在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，()()，1，1，.2已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)答案A解析设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，x2，y0.3已知向量a(1,2)
12、，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于()A. B. C1 D2答案B解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，故选B.4已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.abCab Dab答案B解析设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.5(2016淮南一模)已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A(，5) B(，5)C(，5) D(，5)答案D解析(2,3)(3,7)(1,10)，(，5)，(，5)6在ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs等于()A. B. C3 D0答案D解析
13、因为2，所以()，则rs0，故选D.7在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)8设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.答案解析ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，0，cos 0，2sin cos ，tan .9在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点若，其中，R，则_.答案解析选择，作为平面向量的一组基底，则，又()()，于是得解得所以. 10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn
14、的取值范围是_答案(1,0)解析由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D三点共线，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，从而mn(1,0)11已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)12已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向
15、量的坐标解(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18) 13.如图所示，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().由得3(1)33(定值)