1、20202021学年第一学期第三次月考高二年级数学（文科）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. ()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，以及特殊角所对应三角函数值，即可求出结果.【详解】因为.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的值，熟记诱导公式即可，属于基础题型.2. 是等差数列、的 （ ）A 第项B. 第项C. 第项D. 第【答案】C【解析】分析】记等差数列为，根据已知条件求得数列的通项公式，然后解方程即可得解.【详解】记等差数列为，设该等差数列的公差为，则，解方程，即，解得.故选：C.3
2、. 中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理进行角化边可得是以为直角的直角三角形，进而得解.【详解】，由正弦定理得：，所以是以为直角的直角三角形，故.故选：C.4. 原命题是“若则”，则它的否命题是 （ ）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】B【解析】【分析】根据四种命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据四种命题的关系，可得命题“若，则”，则否命题是若，则.故选：B.5. ：向量或，：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义和向量数
3、量积的定义进行判断即可【详解】若：向量或成立，则： 成立，若：成立，则，或或，所以是的充分不必要条件.故选：A【点睛】易错点睛：若，则或或三种情况.6. 当时，方程表示的曲线是（ ）A. 焦点在轴的椭圆B. 焦点在轴的椭圆C. 双曲线D. 圆【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的标准方程的形式，即可求解，得到答案.【详解】因为，可得且，所以方程表示焦点在轴的椭圆.故选：A.7. “存在实数，使得”的否定是 （ ）A. 对任意的实数，使得B. 对任意的实数，使得C. 存在的实数，使得D. 不存在的实数，使得【答案】B【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全
4、称命题与存在性命题的关系，可得命题“存在实数，使得”的否定是“对任意的实数，使得”.故选：B.8. “”的一个充分条件是（ ）A. 或B. 且C. 且 D. 或【答案】C【解析】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.9. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程计算出，结合焦点位置即可得焦点坐标.【详解】由抛物线方程可得焦点在正半轴，所以焦点坐标为.故选：C10. 将实轴长等于虚轴长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线离心率等于（ ）A.
5、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线的实轴长等于虚轴长，即，即，所以双曲线的离心率.故答案为：.11. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.【详解】请在此输入详解！12. “成等比数列”的一个必要条件是:； ； .其中正确命题序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由必要条件的定义依次分析三个命题，即可求解.【详解】
6、根据题意，依次分析三个条件，对于中，由“成等比数列”，可得，所以“”是“成等比数列”的必要条件，符合题意；对于中，由若“成等比数列”，可得，可得或，所以“”不是“成等比数列”的必要条件，不符合题意；对于中，由“成等比数列”，可得，则有，所以“”是“成等比数列”的必要条件，符合题意；故选：C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分).13. 双曲线的渐近线方程是_【答案】【解析】根据双曲线的渐近线公式得到 故答案为.14. 不等式的解集为 （用区间表示）【答案】【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：考点：一元二次不等式15. 直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_【答案】相交【
7、解析】由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交16. 椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点，则该椭圆标准方程是_.【答案】或【解析】【分析】分类讨论焦点在轴与焦点在轴两种情况.【详解】由题意，设椭圆的标准方程为，则，得，可得椭圆的标准方程为；设椭圆的标准方程为，则，得可得椭圆的标准方程为.故答案为：或.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 求证：关于的方程有一个根为的充要条件是【答案】证明见解析【解析】【分析】由可得，将方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，将代入方程可得知必要性成立，由此得出证
8、明.【详解】充分性：，代入方程得，即关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，即故关于的方程有一个根为的充要条件是【点睛】本题考查充要条件的证明，要从充分性和必要性两方面来进行证明，考查推理论证能力，属于中等题.18. 已知数列中，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列的前项和，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用定义只要证明当时，anan1为常数即可（2）由等差数列的前n项和公式求出即可【详解】（1）证明：当1时，当时，由，得为常数，数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）根据等差数列的前n项和公式得，所以.【点睛】证明数列时等差数列的方法：1
9、.定义法：；2.等差中项法：.19. 设是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且，求的面积.【答案】2【解析】【分析】由题得得求出即得解【详解】依题意得因此所以.所以的面积为【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，看到焦半径，要马上联系到该圆锥曲线的定义解题，本题就是典型的例子.20. 设：实数满足，：实数x满足.（1）若，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得中的取值范围，解绝对值不等式求得中的取值范围，根据为真，即都为真命题，求得的取值范围.（2）解一元二次不等式求得中的取值
10、范围，根据是的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】对于：由得，解（1）当时，对于：，解得，由于为真，所以都为真命题，所以解得，所以实数的取值范围是.（2）当时，对于：，解得.由于是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.21. 设抛物线的焦点为，点，直线过点且与抛物线交于两点.（1）当轴（在轴上方）时，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解
11、析】【分析】（1）由轴（在轴上方），可得直线的方程，代入抛物线方程可求出点的坐标，进而可求出直线的方程；（2）分直线轴和与轴不垂直两种情况讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理分别表示出，即可证明出.【详解】（1）直线的方程为，代入抛物线方程得，而，可得直线 （2）当直线轴时，易得； 当直线与轴不垂直时，设直线，则得所以综上知，.【点睛】思路点睛：一般解决直线与抛物线的综合问题时：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22. 椭圆的离心率为，它的四个顶
12、点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率不为的直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，为原点，求面积的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）由四个顶点构成的四边形面积为，得到，再结合离心率 求解.（2）设直线，与椭圆方程联立，消去x得，然后由面积为求解.【详解】（1）依题意， 解得 ，即椭圆.（2）设直线，则，即，则，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，所以面积为，即面积的最大值为.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)涉及到弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采“整体代入”、“点差法”等方法求解
