1、赣州市20182019学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，化简可得到复数的虚部.【详解】由题意，故复数的虚部为.故答案为B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的虚部，属于基础题.2.下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】结合不等式的性质，对四个选项逐个分析，即可得到答案.【详解】对于选项A，由，可得，则，故选项A成立；对于选项B，取，则，故选项
2、B不正确；对于选项C，取，故选项C不正确；对于选项D，取，故选项D不正确.故答案为B.【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生对基础知识的掌握.3.在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A，第二个球是黄球的事件为B，所求概率为，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A，第二个球是黄球的事件为B，则，则所求概率为.故选B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属
3、于基础题.4.已知点的极坐标为，则过点且垂直于极轴的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出点在直角坐标系中的横坐标，再求出过点且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程即可.【详解】由题意，设点在直角坐标系中的坐标为，则，则过点且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程为，其极坐标方程为，即，故选C.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.5.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导，利用导函数求出单调递增区间即可.【详解】函数定义域为，求导可得，由于，故时，即时，函数单调递增，故选A.【
4、点睛】求函数单调区间，首先要求函数的定义域.6.我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出n的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据程序的运行过程，依次得到的值，然后判断是否满足，结合循环结构，直至得到符合题意的.【详解】执行程序框图，；则；则；则；则；则成立，故输出.故答案为B.【点睛】本题主要考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（ ）广告费用（万元）销售客（万元）根据上表中的数据可以求
5、得线性回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为（ ）A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元【答案】B【解析】【分析】先求出，由样本点的中心在回归直线上，可求出，从而求出回归方程，然后令，可求出答案.【详解】由题意，则样本中心点在回归方程上，则，故线性回归方程为，则广告费用为万元时销售额为万元，故选B.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.8.已知，则下列三个数，（ ）A. 都大于B. 至少有一个不大于C. 都小于D. 至少有一个不小于【答案】D【解析】分析：利用基本不等式可证明，假设三个数都小于，则不可能，从而可得结果.详解：，假设三个数都小于，
6、则，所以假设不成立，所以至少有一个不小于，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少9.如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论：在区间上是增函数；在区间上是减函数，在区间上是增函数：是的极大值点；是的极小值点.其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合导函数的图象，可判断函数的单调性，从而可判断四
7、个结论是否正确.【详解】由题意，和 时，；和时，故函数在和上单调递减，在和上单调递增，是的极小值点，是的极大值点，故正确，答案为D.【点睛】用导数求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值.10.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且以相同的单位长度建立极坐标系，则直线（为参数）被曲线截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程，联立可得交点坐标，从而可求出弦长.【详解】由题意，直线的普通
8、方程为，曲线的直角坐标方程为，联立两个方程可得或者，则二者交点坐标为，则直线被曲线截得的弦长为.故选C.【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程，考查了直线的参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，考查了弦长的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.11.设函数在上可导，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】对求导，令可求出，从而可得到，然后利用二次函数的单调性可比较出与的大小关系.【详解】由题意，则，可得，则，由二次函数性质可知，函数在上单调递增，因为，所以，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，
9、属于中档题.12.若函数在内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，可知在内有两个不同的解，而是的一个解，则在上只有一个不为1的解，则函数与的图象在上只有一个交点，通过求函数的单调性可得到答案.【详解】由题意，因为在内有两个不同的极值点，所以在内有两个不同的解，由于是的一个解，则在上只有一个不为1的解，则，即函数与的图象在上只有一个交点，且交点的横坐标不为1，令，求导得，则时，；时，故在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，故当，即时，函数与的图象在上只有一个交点.当时，函数与的图象在上只有一个交点，但不符合题意，需舍去.故时，函
10、数在内有两个不同的极值点.故选D.【点睛】函数的极值与导函数的零点有直接关系，已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：（1）直接法：直接求解方程，得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.二、填空题：答案填写在答题卷上.13.设复数，则_.【答案】【解析】【分析】先利用复数的四则运算化简，然后求出复数的模即可.【详解】由题意，则.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模的计算，属于基础题.14.曲线在点处的切线方程为_.【答案】
11、【解析】【分析】对求导，求出时，则点处的切线方程的斜率为-2，利用点斜式可得到所求直线方程.【详解】由题意，点在上，当时，则点处的切线方程的斜率为-2，切线方程为，即.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于基础题.15.观察下列等式：照此规律，则第五个等式应为_.【答案】【解析】分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案.【详解】等式左边：第排首字母为，数字个数为 等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.16.已知正数，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由，可得且，则，利用基本不等式可求出的最小值
12、.【详解】由，可得且，则，（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；等号取得的条件.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，分，三种情况去绝对值解不等式即可；（2）不等式恒成立，转化为，求出即可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）当时，当时，解得，当时，恒成立，即均符合，当时，解得，综上所述，不等式的解集为.（2）不等式恒成立，转化为.由于，所以，分解得或.所以实数的取值范围为
13、.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.18.某校为调查高中生在校参加体育活动的时间，随机抽取了名高中学生进行调查，其中男女各占一半，下面是根据调查结果绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布直方图：将日均体育锻炼时间不低于分钟的学生评价为“良好”，已知“良好评价中有名女姓，非良好良好合计男生女生合计参考公式：（1）请将下面的列联表补充完整；（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关?【答案】（1）见解析；（2）有的把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可知，结合抽取总人数为，可知评
14、价为“良好”的学生人数为，再由“良好评价中有名女姓，可得到“非良好”的男女人数，从而完成列联表；（2）根据公式，求出，从而可得出结论.【详解】解：（1）设学生日均体育锻炼时间为分钟，根据频率分布直方图可知.抽取总人数为，所以评价为“良好”的学生人数为.列联表如下：非良好良好合计男生女生合计（2）由.所以有的把握认为“高中生的性别与喜欢体育锻炼”有关.【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验知识，考查了学生的计算能力，属于基础题.19.已知函数，且在处取得极值.（1）求函数的解析式；（2）求函数在的最值.【答案】（1）（2）最大值为；最小值为【解析】【分析】（1）由题意可知，即可求出的值，从
15、而得到的解析式；（2）对求导，求出的单调性，即可得到在的最值.【详解】解：（1）由，得又因为在处取得极值，所以，解得，经检验，符合条件，所以.（2）由（1）可知单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在的最大值为。最小值为.【点睛】本题考查了函数的极值，考查了函数解析式的求法，考查了利用导数求函数单调性与最值，属于中档题.20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线、分别交于、两点，求.【答案】（1）曲线的普通方程：；曲线的极坐标方程：（2）【解析】【分析】（1）由参数方
16、程、极坐标方程及普通方程间的转化方法求出曲线的普通方程和曲线的极坐标方程即可；（2）将分别代入、的极坐标方程中，可求出两点的极坐标，从而可求出.【详解】解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），故曲线的普通方程：，由曲线，故曲线的极坐标方程：.（2）曲线的极坐标方程：，由于射线与曲线、分别交于两点， 设、两点对应的极径分别为、,联立，解得，联立，解得.所以.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程及普通方程间的转化，考查了利用极坐标求两点间距离的方法，考查了计算能力，属于中档题.21.已知，.（1）求的最大值及相应的的值；（2）若以，为三边长总能构成三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）
17、【解析】【分析】（1）求出的表达式，再利用基本不等式可得所求最大值及相应的的值；（2）由三角形的三边关系，列出表达式，化简整理,并结合基本不等式可得到答案.【详解】解：（1）因为，所以(当且仅当即时等号成立).（2）因为，所以.因为，为三边长总能构成三角形.即，当且仅当即时等号成立，当且仅当即时等号，得出.【点睛】本题考查了基本不等式的性质及应用，考查了学生的计算能力与推理能力，属于中档题.22.设函数.（1）讨论函数的单调性：（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知：取得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1
18、）知当和时，不合题意； 当时，要使得要使有两个零点，必有，构造新函数，利用导数求得函数函数的单调性和最值，即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知： 若，即时，上单减，在单增若，即时，当时，单增；当时，在上单增，在单减，在上单增；当时，在上单增，在单减，在上单增.（2）由（1）知当时，在单增，故不可能有两个零点.当时，只有一个零点，不合题意.当时，在上单减，在单增，且时，；时，.故只要，解得：.当时，在上单增，在单减，在上单增.因为故也不可能有两个零点.当时，在上单增，在单减，在上单增且，故要使有两个零点，必有由 即当时，有因为 即在上单增，且时，.故当时，不可能有两个零点.综上所述：当时，有两个零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及利用导数求解函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.