1、1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0 x1x2y1y20，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos ab|a|b|(为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a|a2 x2y2，其中 a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题设向量 向量问题运算 解决向量问题还原 解决几何问题2向量与相关知
2、识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题【知识拓展】1若 G 是ABC 的重心，则GA GB GC 0.2若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若ABAC，则 A，B，C 三点共线()(2)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(3)在ABC 中，若ABBC0，则ABC 为钝角三角形()(4)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(2，1)，B
3、(0，10)，C(8,0)，若动点 P 满足：OP OA t(ABAC)，tR，则点 P 的轨迹方程是 xy10.()1(教材改编)已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形答案 B解析 AB(2，2)，AC(4，8)，BC(6，6)，|AB|22222 2，|AC|16644 5，|BC|36366 2，|AB|2|BC|2|AC|2，ABC 为直角三角形2已知在ABC 中，|BC|10，ABAC16，D 为边 BC 的中点，则|AD|等于()A6B5C4D3答案 D解析 在ABC 中，由
4、余弦定理可得，AB2AC22ABACcos ABC2，又ABAC|AB|AC|cosA16，所以 AB2AC232100，AB2AC268.又 D 为边 BC 的中点，所以ABAC2AD，两边平方得 4|AD|2683236，解得|AD|3，故选 D.3(2016武汉模拟)平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP OA 4，则点 P 的轨迹方程是_答案 x2y40解析 由OP OA 4，得(x，y)(1,2)4，即 x2y4.4(2016银川模拟)已知向量 a(cos，sin)，b(3，1)，则|2ab|的最大值为_答案 4解析 设 a 与 b 夹角为，|2
5、ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4|2ab|的最大值为 4.5(2016江西八校联考)在ABC 中，AB(2，3)，AC(1，2)，则ABC 的面积为_答案 1 32解析 cosBAC ABAC|AB|AC|2 615，sinBAC2 315，SABC12|AB|AC|sinBAC1 32.题型一 向量在平面几何中的应用例 1(1)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若ACBE1，则AB_.(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动
6、点，若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A内心B外心C重心D垂心答案(1)12(2)C解析(1)在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F，则BEFD，BEFD AD 12AB，又ACAD AB，ACBE(AD AB)(AD 12AB)AD 212AD ABAD AB12AB 2|AD|212|AD|AB|cos 6012|AB|211212|AB|12|AB|21.12|AB|AB|0，又|AB|0，|AB|12.(2)由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC是ABC 的中线 AD(D 为
7、 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心引申探究本例(2)中，若动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC的_答案 内心解析 由条件，得OP OA AB|AB|AC|AC|，即APAB|AB|AC|AC|，而 AB|AB|和 AC|AC|分别表示平行于AB，AC的单位向量，故 AB|AB|AC|AC|平分BAC，即AP平分BAC，所以点 P 的轨迹必过ABC的内心思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量
8、运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(1)在ABC 中，已知向量AB与AC满足(AB|AB|AC|AC|)BC0，且 AB|AB|AC|AC|12，则ABC 为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_答案(1)A(2)5解析(1)AB|AB|，AC|AC|分别为平行于AB，AC 的单位向量，由平行四边形法则可知 AB|AB|AC|AC|为BAC 的平分线因为(
9、AB|AB|AC|AC|)BC0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC.又 AB|AB|AC|AC|AB|AB|AC|AC|cosBAC12，所以 cosBAC12，又 0BAC，故BAC3，所以ABC 为等边三角形(2)以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPy.则 D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，PA(2，y)，PB(1，ay)，则PA3PB(5,3a4y)，即|PA3PB|225(3a4y)2，由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0ya.因此当 y34a 时，|PA3PB
10、|2 的最小值为 25.故|PA3PB|的最小值为 5.题型二 向量在解析几何中的应用例 2(1)已知向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，且 A、B、C 三点共线，当 k0 时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x2)2y23 的圆心，且圆上有一点 M(x，y)满足OM CM 0，则 yx_.答案(1)2xy30(2)3解析(1)ABOB OA(4k，7)，BCOC OB(6，k5)，且ABBC，(4k)(k5)670，解得 k2 或 k11.由 k0 可知 k2，则过点(2，1)且斜率为2 的直线方程为 y12(x2)
11、，即 2xy30.(2)OM CM 0，OMCM，OM 是圆的切线，设 OM 的方程为 ykx，由|2k|1k2 3，得 k 3，即yx 3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0(a，b 为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法(2016合肥模拟)如图所示，半圆的直径 A
12、B6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PAPB)PC的最小值为_答案 92解析 圆心 O 是直径 AB 的中点，PAPB2PO，(PAPB)PC2PO PC，PO 与PC共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小由条件知，当 POPC32时，最小值为2323292.题型三 向量的其他应用命题点 1 向量在不等式中的应用例 3 已知 x，y 满足yx，xy2，xa，若OA(x,1)，OB(2，y)，且OA OB 的最大值是最小值的8 倍，则实数 a 的值是_答案 18解析 因为OA(x,1)，OB(2，y)，所以OA OB 2xy，令 z2xy
13、，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图像可知，当目标函数 z2xy 过点 C(1,1)时，zmax2113，目标函数 z2xy 过点 F(a，a)时，zmin2aa3a，所以 383a，解得 a18.命题点 2 向量在解三角形中的应用例 4(2016合肥模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 20aBC15bCA12cAB0，则ABC 最小角的正弦值等于()A.45B.34C.35D.74答案 C解析 20aBC15bCA12cAB0，20a(ACAB)15bCA12cAB0，(20a15b)AC(12c20a)AB0，AC与AB不共线，
14、20a15b0，12c20a0b43a，c53a，ABC 最小角为角 A，cos Ab2c2a22bc169 a2259 a2a2243a53a45，sin A35，故选 C.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化(1)函数 ysin(x)在一个周期内的图像如图所示，M、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM ON 0，则函数 f(x)的最小正周期是_(2)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点 P(x，y)满足不等式 0OP OM1,0OP ON 1，
15、则 zOQ OP 的最大值为_答案(1)3(2)3解析(1)由图像可知，M12，1，N()xN，1，所以OM ON 12，1(xN，1)12xN10，解得 xN2，所以函数 f(x)的最小正周期是 2212 3.(2)OP(x，y)，OM(1,1)，ON(0,1)，OQ(2,3)，OP OM xy，OP ON y，OQ OP 2x3y，即在0 xy1，0y1条件下，求 z2x3y 的最大值，由线性规划知识得，当 x0，y1 时，zmax3.三审图形抓特点典例(2016太原一模)已知 A，B，C，D 是函数 ysin(x)0，02 一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A6，0，B 为 y 轴上
16、的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的射影为 12，则，的值为()A2，3B2，6C12，3D12，6E为函数图像的对称中心，C为图像最低点 作出点C的对称点MD、B两点对称CD和MB对称 CD 在x轴上的射影是 12BM在x轴上的射影OF 12A(6，0)，AF4 T 2ysin2x和ysin 2x图象比较26 3解析 由 E 为该函数图像的一个对称中心，作点 C 的对称点 M，作 MFx 轴，垂足为 F，如图B 与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的射影为 12，知 OF 12.又 A6，0，所以 AFT4 2
17、4，所以 2.同时函数 ysin(x)图像可以看作是由 ysin x 的图像向左平移得到，故可知26，即 3.答案 A1在ABC 中，(BCBA)AC|AC|2，则ABC 的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案 C解析 由(BCBA)AC|AC|2，得AC(BCBAAC)0，即AC(BCBACA)0，2ACBA0，ACBA，A90.又根据已知条件不能得到|AB|AC|，故ABC 一定是直角三角形2(2016山东)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13.若 n(tmn)，则实数 t的值为()A4B4C.94D94答案 B解析 n(tmn)
18、，n(tmn)0，即 tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得 t34|n|213|n|20，解得 t4，故选 B.3(2016南宁模拟)已知向量 a(cos，2)，b(sin，1)且 ab，则 sin 2 等于()A3B3C.45D45答案 D解析 由 ab 得 cos 2sin 0，cos 2sin，又 sin2cos21，5sin21，sin215，cos245，sin 22sin cos cos245.4(2016武汉模拟)设ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m(3sin A，sin B)，n(cos B，3cos A)，若 mn1cos(AB)，则 C 等于(
19、)A.6B.3C.23D.56答案 C解析 依题意得 3sin Acos B 3cos Asin B1cos(AB)，3sin(AB)1cos(AB)，3sin Ccos C1,2sin(C6)1，sin(C6)12.又6C60，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|3.9设 e1，e2 为单位向量，非零向量 bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2 的夹角为6，则|x|b|的最大值为_答案 2解析|x|b|x|xe1ye2|x|x2y2 3xy1x2y2 3xyx21yx2 3yx 11yx 32 214.因为(yx 32)21414，所以|x|b|的最大值为 2.10.已知
20、圆 C：(x2)2y24，圆 M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE，PF，切点分别为 E，F，则PEPF的最小值是_答案 6解析 圆(x2)2y24 的圆心 C(2,0)，半径为 2，圆 M(x25cos)2(y5sin)21，圆心 M(25cos，5sin)，半径为 1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H，G 两点，则PEPF最小值是HE HF，HCCM1514，HFHE HC2CE2 1642 3，sinCHECECH12，cosEHFcos 2CHE12sin2CHE12，HE HF|HE|HF
21、|cosEHF2 32 3126.11已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求，的值(1)证明 由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22ab2，即 ab0，故 ab.(2)解 因为 ab(cos cos，sin sin)(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1.由此得，cos cos()，由 0，得 0，又 0，所以 56，6.12在ABC 中，设内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos A，sin A)，向量 n(
22、2sin A，cos A)，若|mn|2.(1)求内角 A 的大小；(2)若 b4 2，且 c 2a，求ABC 的面积解(1)|mn|2(cos A 2sin A)2(sin Acos A)242 2(cos Asin A)44cos(4A)44cos(4A)4，cos(4A)0.A(0，)，4A2，A4.(2)由余弦定理知：a2b2c22bccos A，即 a2(4 2)2(2a)224 2 2acos4，解得 a4 2，c8.SABC12bcsin A124 28 22 16.13.设向量 a(cos xsin x，1)，b(2sin x，1)，其中 0，xR，已知函数 f(x)ab 的最小正周期为 4.(1)求 的值；(2)若 sin x0 是关于 t 的方程 2t2t10 的根，且 x02，2，求 f(x0)的值解(1)f(x)ab(cos xsin x，1)(2sin x，1)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4.因为 T4，所以224，14.(2)方程 2t2t10 的两根为 t112，t21.因为 x02，2，所以 sin x0(1,1)，所以 sin x012，即 x06.又由(1)知 f(x0)2sin12x04，所以 f6 2sin 124 2sin 6 22.
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