1、第二讲函数的基本性质1.2020四川省宜宾市模拟下列函数中,既是奇函数,又在(0,+)上是增函数的是()A.f (x) =sin xB.f (x) =ex+e-xC.f (x) =x3+xD.f (x) =xln|x|2.原创题已知函数f (x) =x(x-a)+b,若函数y =f (x+1)为偶函数,且f (1) =0,则b的值为()A. - 2B. - 1C.1D.23.2020湖北华师一附中月考已知函数f (x) =(a - 3)x+5,x1,2ax,x1,f (x)是R上的减函数,则a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3C.(0,2)D.(0,24.2020宁夏银川一中模拟已知f
2、 (x) =x3+ln1+x1 - x,且f (3a-2)+f (a-1)bcB.bacC.cabD.cba7.2020百校联考已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x)+f (2-x) =0,则下列结论错误的是()A.f (x)的图象关于点(1,0)对称B.f (x+2) =f (x)C.f (3-x) =f (x-1)D.f (x-2) =f (x)8.2019江西红色七校第一次联考设f (x)是定义在R上的周期为3的周期函数,该函数在区间(-2,1上的图象如图2-2-1所示,则f (2 018)+f (2 019) =()图2-2-1A.2B.1C. - 1D.09.2020南昌市测
3、试已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (2-x)+f (x) =0,f (0) =3,则 f (10) =.10.2020江苏苏州初调若y =f (x)是定义在R上的偶函数,当x0,+)时,f (x) =sinx,x0,1),f(x - 1),x1,+),则f (-6-5) =.11.2020长春市第一次质量监测已知函数y =f (x)是定义在R上的奇函数,且满足f (2+x)+f (x) =0,当x-2,0时,f (x) =-x2-2x,则当x4,6时,y =f (x)的最小值为()A.-8B.-1C.0D.112.2020广东七校联考已知定义在R上的偶函数y =f (x+2),其图象是
4、连续的,当x2时,函数y =f (x)是单调函数,则满足f (x) =f (1-1x+4)的所有x之积为()A.3B.-3C.-39D.3913.原创题设增函数f (x) =lnx,x1, - 1+axx,0x1的值域为R,若不等式f (x)x+b的解集为x|cxe,则实数c的值为()A.e - e2 - 42B.e+e2 - 42C.ee2 - 42D.1214.2019郑州市第三次质量预测已知定义在R上的函数f (x)满足f (-x) =f (x),且函数f (x)在(-,0)上是减函数,若a =f (-1),b =f (log214),c =f (20.3),则a,b,c的大小关系为()
5、A.cba B.acbC.bca D.ab0时,f(x)=xln x,则f (x)=1+ln x,所以函数f(x)在(0,1e)上单调递减,在(1e,+)上单调递增,所以D不符合题意.故选C.2.C解法一由f(x+1)=(x+1)(x+1 - a)+b=x2+(2 - a)x+1 - a+b为偶函数,得a=2.又f(1)= - 1+b=0,所以b=1,故选C.解法二由y=f(x+1)为偶函数,知y=f(x+1)的图象关于直线x=0对称,而y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,因而y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故f(x)=x(x - a)+b图象的对称轴
6、方程为x=a2=1,得a=2.又f(1)=0,故b=1,故选C.3.D因为函数f(x)=(a - 3)x+5,x1,2ax,x1,f(x)是R上的减函数,所以a - 30,(a - 3)1+52a1,解得00,得 - 1x1,即函数f(x)的定义域为( - 1,1).因为f(x)=x3+ln1+x1 - x=x3+ln(x+1) - ln(1 - x),所以函数f(x)在定义域( - 1,1)上为增函数.又f( - x)= - x3+ln( - x+1) - ln(1+x)= - x3+ln(x+1) - ln(1 - x)= - f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以由不等式f(3a -
7、2)+f(a - 1)0,得f(3a - 2)f(1 - a),所以 - 13a - 21, - 11 - a1,3a - 21 - a,即13a1,0a2,a34,得13a0时,f(x)=ln(x2+1+x),此时函数f(x)单调递增.a=f(log30.2)=f(log35),b=f(3 - 0.2),c=f( - 31.1)=f(31.1),因为31.1log353 - 0.20,所以cab,故选C.解法二令g(x)=ln(x2+1 - x),则g( - x)+g(x)=ln(x2+1+x)+ln(x2+1 - x)=ln 1=0,所以g(x)为奇函数,y=f(x)=|g(x)|为偶函数
8、.当x0时,函数f(x)=|ln(x2+1 - x)|=ln(x2+1+x),函数f(x)单调递增,又f(0)=ln 1=0,所以函数f(x)的大致图象如图D 2 - 2 - 1所示. 图D 2 - 2 - 1- 2log3 0.2=log315= - log35 - 1,03 - 0.2=130.21, - 31.1f(log3 0.2)f(3 - 0.2),即cab,故选C.7.C由f(x)+f(2 - x)=0得f(x)的图象关于点(1,0)对称,选项A正确;用 - x代换f(x)+f(2 - x)=0中的x,得f( - x)+f(2+x)=0,所以f(x+2)= - f( - x)=f
9、(x),选项B正确;用x - 1代换f(x)+f(2 - x)=0中的x,得f(3 - x)= - f(x - 1),选项C错误;用x - 2代换f(x+2)=f(x)中的x,得f(x - 2)=f(x),选项D正确.8.C因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,所以f(2 018)=f(2 018 - 6733)=f( - 1),f(2 019)=f(2 019 - 6733)=f(0),由题中图象知 f( - 1)= - 1,f(0)=0,所以f(2 018)+f(2 019)=f( - 1)+f(0)= - 1.故选C. 9. - 3因为函数f(x)是偶函数,所以f(2 - x
10、)= - f(x)= - f( - x),所以f(x+2)= - f(x)=f(2 - x)=f(x - 2),所以f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,则f(10)=f(2)= - f(0)= - 3.10.12因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f( - 6 - 5)=f(6+5).因为6+51,6+41,6+31,6+21,6+11,所以f(6+5)=f(6+4)=f(6+3)=f(6+2)=f(6+1)=f(6).又060,设方程的两根分别为x1,x2,则x1x2= - 3;由4 - x=1 - 1x+4,得x2+x - 13=0,20,设方程的两根分别为x3,x4
11、,则x3x4= - 13.所以x1x2x3x4=39.故选D.13.A当x1时,f(x)为增函数,且f(x)(0,+),当01, - 1+xx,0x1.因为不等式f(x)x+b的解集为x|cxe,易知ln x=x+b的解为x=e,所以b=1 - e,当x=1时,x+b=1+1 - e=2 - e0,故0c1.令 - 1+xx=x+1 - e,得x2 - ex+1=0,从而x=e - e2 - 42,则c=e - e2 - 42,故选A.14.B因为函数f(x)在R上满足f( - x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.由函数f(x)在( - ,0)上是减函数知函数f(x)在(0,+)上是增函
12、数.又a=f( - 1)=f(1),b=f(log214)=f( - 2)=f(2),c=f(20.3),120.32,所以acb.故选B.15.(1,2)由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a - x)对任意x均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3 - 3(a+x)2+5(a+x) - 1+(a - x)3 - 3(a - x)2+5(a - x) - 1=2a3+6ax2 - 6a2 - 6x2+10a - 2=2a3 - 6a2+10a - 2+(6a - 6)x2对任意x均成立,所以6a - 6=0,且2a3 - 6a2+10a - 2=2b,即a=1,
13、b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).16. - 4由f(x)为定义在R上的奇函数可知f(0)=0,又g(0)=0,所以f(0) - g(0)=20+b=0,得b= - 1,所以f(1) - g(1)=4,于是f( - 1)+g( - 1)= - f(1)+g(1)= - f(1) - g(1)= - 4.17. ( - 1,3)(注意:写闭区间也给分)函数f(x)=x3+ax2+bx满足f(1+x)+f(1 - x)+22=0,即(1+x)3+a(1+x)2+b(1+x)+(1 - x)3+a(1 - x)2+b(1 - x)+22=0,整理得(2a+6)x2+2a+2b+24=0,即2a+6=0,2a+2b+24=0,解得a= - 3,b= - 9,所以f(x)=x3 - 3x2 - 9x,f (x)=3x2 - 6x - 9,令f (x)0,解得 - 1x3,故函数f(x)的单调递减区间是( - 1,3).