1、第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题重点 空间向量的数量积运算难点 利用空间向量解决夹角、距离等问题课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 空间向量的夹角填一填1定义：(1)条件：a，b 是空间的两个向量(2)作法：在空间任取一点 O，作OA a，OB b.(3)结论：叫做向量 a，b 的夹角，记作非零AOBa，b2范围：a，b，其中，(1)当 a，b 0 时，a 与
2、 b 的方向(2)当 a，b 时，a 与 b 的方向(3)当 a，b 2时，a 与 b 互相，记作.0，相同相反垂直ab答一答1若 a，b 是空间的两个非零向量，则 a，b a，b a，b，对吗？提示：不对a 与 a，b 与 b 分别是互为相反向量，a，b a，b a，b 知识点二 空间向量的数量积填一填1空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则叫做 a，b 的数量积，记作 ab.即 ab(2)运算律：(a)b；交换律：ab；分配律：a(bc).|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(ab)baabac2空间向量数量积的性质 答一答2类比平面向量，你能说出 ab 的几何意
3、义吗？3对于向量 a，b，c，由 abac，能得到 bc 吗？提示：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积提示：不能，若 a，b，c 是非零向量，则 abac 得到 a(bc)0，即可能有 a(bc)成立4对于向量 a，b，若 abk，能不能写成 akb？提示：不能，向量没有除法，kb无意义5为什么(ab)ca(bc)不一定成立？提示：由定义得(ab)c(|a|b|cosa，b)c，即(ab)c1c；a(bc)a(|b|c|cosb，c)，即 a(bc)2a，因此，(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，
4、而 a 与 c 不一定共线，所以(ab)ca(bc)不一定成立1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|aa求解即可3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算类型一 空间向量的数量积运算【例 1】如下图所示，已知正三棱锥 A-BCD 的侧棱长和底面边长都是 a，点 E
5、、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点求下列向量的数量积(1)ABAC；(2)AD BD；(3)GF AC；(4)EFBC.【解】(1)由题知|AB|AC|a，且AB，AC60，ABACaacos6012a2.(2)|AD|a，|BD|a，且AD，BD 60.AD BD aacos6012a2.(3)|GF|12a，|AC|a，又GF AC，GF，AC180.GF AC12aacos18012a2.(4)|EF|12a，|BC|a，又EFBD，EF，BCBD，BC60.EFBC12aacos6014a2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角
6、的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：(1)OA OB；(2)(OA OB)(CACB)解：如图所示，(1)OA OB|OA|OB|cosAOB11cos6012；(2)(OA OB)(CA CB)(OA OB)(OA OC OB OC)(OA OB)(OA OB 2 OC)12 11cos60 211cos6011cos6012211cos601.类型二 利用数量积求夹角【例 2】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABC90，
7、ABBC1，AA1 2，求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值【分析】求异面直线 BA1 与 AC 所成的角，可转化为求向量BA1 与AC所成的角，因此可先求BA1 AC，再求|BA1|，|AC|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别【解】因为BA1 BAAA1 BABB1，ACBCBA，且BABCBB1 BABB1 BC0，所以BA1 AC(BABB1)(BCBA)BABCBA 2BB1 BCBB1 BA1.又|AC|2，|BA1|12 3.所以 cosBA1，AC BA1 AC|BA1|AC|16 66.则异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为 66.如图
8、所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求异面直线 A1B与 AC 所成的角解：不妨设正方体的棱长为 1，设ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，abbcca0，A1B ac，ACab.A1B AC(ac)(ab)|a|2abacbc1.而|A1B|AC|2，cosA1B，AC12 212，A1B，AC60.异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60.类型三 利用数量积求距离【例 3】在正四面体 ABCD 中，棱长为 a.M，N 分别是棱AB，CD 上的点，且|MB|2|AM|，|CN|12|ND|，求|MN|.【分析】转化为求向量MN 的模，然后将向量MN 分解，再根据
9、数量积运算性质进行求解【解】因为MN MB BCCN 23AB(ACAB)13(ADAC)13AB13AD 23AC，所以MN MN 13AB13AD 23AC 13AB13AD 23AC 19AB 229AD AB49ABAC 49AC AD19AD 249AC 219a219a229a229a219a249a259a2.所以|MN|53 a.求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2aa，通过向量运算去求|a|，即得所求距离.如下图，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使直线
10、 AB 与 CD 成 60角，求 B，D 间的距离解：ACD90，ACCD 0，同理BAAC0.AB 与 CD 成 60角，BA，CD 60或 120.BD BAACCD，BD 2BA 2AC 2CD 22BAAC2BACD 2ACCDBA 2AC 2CD 22BACD3211cosBA，CD 4 BA，CD 60，2 BA，CD 120.|BD|2 或 2，即 B，D 间的距离为 2 或 2.类型四 利用数量积证明垂直问题【例 4】如下图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为 DD1的中点，O 是底面 ABCD 的中心求证：B1O平面 PAC.【分析】本题考查利用 abab0 求证
11、线面垂直，关键是在平面 PAC 中找出两相交向量与向量B1O 垂直【证明】不妨设正方体的棱长为 1，ABa，AD b，AA1c，则|a|b|c|1，abbcac0.由题图得：PAPD DA 12AA1 AD b12c，PCPDDC 12AA1 ABa12c，B1O B1B BO c12(ab)12a12bc.PAB1O b12c 12a12bc12ab12b2bc14ac14bc12c2，PCB1O a12c 12a12bc12a212abac14ac14bc12c2，又|a|b|c|1，abacbc0，PAB1O 0，PCB1O 0.PAB1O，PCB1O.PAB1O，PCB1O.又PAPC
12、P，B1O平面 PAC.用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明：如图方法一：ABCD，ACBD，ABCD 0，ACBD 0.AD BC(ABBD)(ACAB)ABACBD ACAB 2ABBDABACAB 2ABBDAB(ACABBD)ABDC 0.AD BC，从而 ADBC.方法二：设ABa，ACb，AD c，ABCD，ABCD 0，即AB(AD AC)0，a(cb)0，即 acba.ACBD，ACBD 0，即AC(AD AB)0，b(ca)0，即 bc
13、ba.acbc，c(ba)0，即AD(ACAB)0，AD BC0.AD BC，从而 ADBC.1如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，对角线AC1 和 BD1 相交于点 O，则有()A.ABA1C1 2a2B.ABAC1 2a2C.ABAO 12a2D.BCDA1 a2C解析：ABAO AB12AC1 12AB(ABAD AA1)12(AB 2ABAD ABAA1)12AB 212|AB|212a2.2已知 a，b，c 是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|()A14 B.14 C4 D2解析：|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14，|a2b
14、3c|14.B3已知 i、j、k 是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则 ab 等于.解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.24已知向量 a、b、c 两两之间的夹角都为 60，其模都为 1，则|ab2c|等于.解析：(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc1142cos605，|ab2c|5.55如图所示，已知ADB 和ADC 都是以 D 为直角顶点的直角三角形，且 ADBDCD，BAC60.求证：BD平面 ADC.证明：不妨设 ADBDCD1，则 ABAC 2.BD AC(AD AB)ACAD ACABAC，由于AD ACAD(AD DC)AD AD 1，ABAC|AB|AC|cos60 2 2121.BD AC0，即 BDAC，又已知 BDAD，BD平面 ADC.温示提馨请 做：课时作业 21PPT文稿（点击进入）