1、江苏省苏州大学附中2019-2020学年高二数学下学期6月阶段调研试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共40分）1.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：，复数对应的点为，在第一象限.故选：A.考点：复数点评：复数在复平面内对应的点为2.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题意求出在个点处的导数值，由点斜式代入这个点得到切线方程.详解：曲线在点处的导数值为,故切线方程为.故答案为A.点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数
2、求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.3.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（ ）A. 0.8B. 0.65C. 0.15D. 0.5【答案】B【解析】【分析】可利用对立事件概率公式求解.【详解】根据题意，敌机没被击中的概率为，所以敌机被击中的概率为.故选：B【点睛】本题考查随机事件的概率计算，属于基础题.4.已知与之间的一组数据：01231357则与的线性回归方程必过A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出x的平均值 ，y的平均值 ，回归直线方程一定过样本的中
3、心点（，），代入可得答案【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，）， ，样本中心点是（1.5，4），则y与x的线性回归方程ybx+a必过点（1.5，4），故选B【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（，）5.校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为，那么成活棵数的方差是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的方差直接计算.【详解】由条件可知 所以故选：C【点睛】本题考查二项分布，方差公式，属于基础题型.6.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C
4、. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意找到异面直线与所成的角；设三棱柱的侧棱与底面边长为，利用勾股定理求出各边长，再利用余弦定理，即可求出结果【详解】设的中点为，由题意可知平面，连接、，易知即为异面直线与所成的角；设三棱柱的侧棱与底面边长为， 则，分别在和中，由勾股定理，可知 ， 在中，由余弦定理，得；所以异面直线与所成的角的余弦值为 故选：B【点睛】本题主要考查了异面直线的夹角的求法，属于基础题7.在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为 （ ）（附：）A. 6B. 7C. 9D. 10【答案】C【解析】【详
5、解】分析：现利用正态分布的意义和原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于的概率，即可求解得到其人数详解：因为其中数学考试成绩服从正态分布，因为，即根据正态分布图象的对称性，可得，所以这个班级中数学考试成绩在分以上的人数大约为人，故选C点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题8.某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得30分；选乙题答对得10分，答错得10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
6、A. 24B. 36C. 40D. 44【答案】D【解析】【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：两人得30分，余下两人得30分，一人得30分，余下三人得10分，一人得30分，余下三人得10分，一人得30分，一人得30分，一人得10分，一人得10分，两人得10分，余下两人得10分，根据分类计数原理得到结果.【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得30分，余下两人得30分，有C42=6种情况；（2）一人得30分，余下三人得10分，有4种情况；（3）一人得30分，余下三人得10分，有4种情况；(4)一人得30分，一人得30分，一人得10分，一人得10分，有A43
7、=24种情况；(5)两人得10分，余下两人得10分，有C42=6种情况.根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况.故选：D.【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复遗漏，属于基础题.二、多选题（每题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分）9.若随机变量，其中，下列等式成立有( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此可解决问题【详解】随机变量服从标准正态分布，正态曲线关于对称，根据曲线的对称性可得：A.，所以该命题
8、正确；B.，所以错误；C.，所以该命题正确；D.或，所以该命题错误故选：【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.已知是双曲线上任一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点.设直线的斜率分别为，若恒成立，且实数的最大值为.则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线的方程为B. 双曲线的离心率为2C. 函数的图象恒过的一个焦点D. 直线与有两个交点【答案】AC【解析】【分析】根据已知可得为定值，结合基本不等式求出的取值范围，得到的最大值，从而取出，逐项判断即可.【详解】设，若，直线与渐近线平行或重合，不合题意，所以不等式取不到等号，而恒成立，双曲线方程为，选项A正确；
9、双曲线的离心率为，选项B错误；双曲线的焦点为，函数的图象过定点，所以选项C正确；双曲线渐近线方程为，而直线的斜率为，所以直线与双曲线没有交点，所以选项D错误.故选：AC.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的性质，利用圆锥曲线的常用结论是解题的突破口，注意多归纳总结常用的二级结论，属于中档题.11.如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点.为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（ ）A. 平面内存在直线与平行B. 平面截正方体所得截面面积为C. 直线和所成角可能为60D. 直线和所成角可能为30【答案】BC【解析】【分析】，直线相交，得到与平面位置关系，即可判断选项A真假；，而，得到，可得
10、截面为等腰梯形，求出面积即可判断选项B；建立空间直角坐标系，求出直线和所成角余弦值的范围，即可判断选项C，D.【详解】对于选项A，在正方体中，在平面中，直线相交，所以直线与平面相交，故直线与平面相交，则平面不存在直线与平行，所以选项A错误；对于选项B，连接分别为棱的中点，所以，在正方体中，所以，连，则梯形为所求的截面，所以等腰梯形的高为，所以梯形的面积为，选项B正确；对于选项C,D，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，令，而，直线和所成角可能为60，但不可能为30，选项C正确，选项D错误.故选：BC.【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，涉及到直线与平面的位置关系、截
11、面面积、异面直线所成的角，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.12.函数f(x)=ex+asinx，x(，+)，下列说法正确的是（ ）A. 当a=1时，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为2xy+1=0B. 当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0C. 对任意a0，f(x)在(，+)上均存在零点D. 存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线ya 的交点问题【详解】选项
12、A，当时，所以，故切点为，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确.选项B，当时，恒成立，所以单调递增，又, ,所以，即，所以所以存在，使得，即则在上，在上，所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以存在唯一的极小值点.,则，所以B正确.对于选项C、D，令，即 ，所以, 则令,令,得由函数的图像性质可知:时，单调递减.时，单调递增.所以时，取得极小值，即当时取得极小值，又,即又因为在上单调递减，所以所以时，取得极小值，即当时取得极大值，又，即所以当时，所以当，即时，f(x)在(，+)上无零点，所以C不正确.当，即时，与的图象只有一个交点即存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一
13、个零点，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.正态总体的概率密度函数，的图象关于直线_对称【答案】【解析】【分析】由正态曲线的特征可判断.【详解】由正态曲线的特征可知正态总体的概率密度函数，的图象关于直线对称.故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的特征，属于基础题.14.为了判断高中三年级学生是否选择文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：理科文科男1310女720已知，根据表中数据，得到的观测值，则有_以上把握认为选择文科与性别
14、有关系【答案】95%【解析】【分析】通过观测值与临界值比较得到结果.【详解】且有以上的把握认为选择文科与性别有关系本题正确结果：【点睛】本题考查独立性检验的相关知识，属于基础题.15.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是_.【答案】.【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意
15、的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点16.将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_种（用数字作答）【答案】660【解析】【分析】分情况讨论每个学校分配人数即可求解【详解】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种故答案为660【点睛】本题考查排列组合，分类讨论
16、思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数，其中为虚数单位.（1）若复数是纯虚数，求实数的值；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由实部等于0且虚部不为0联立不等式组求解；（2）由实部大于0且虚部大于0联立不等式组得答案【详解】解：（1）复数是纯虚数，解得，故，（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，解得或，实数的取值范围为.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，属于基础题18.已知的展开式中前三项的系数成
17、等差数列（1）求的值；（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值；（3）求展开项中最大的系数【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质列出方程求解n；（2）当时，成立；当时，根据二项式的单调性和对称性可列出等式求解k；（3）设第项的系数最大，由求解r的值，代入展开式的通项即可得解.【详解】（1）根据题意，成等差数列，所以，即，或(舍去).（2）当时，即显然成立；当时，由二项式的单调性和对称性得：.（3）设第项的系数最大，则，解得或，所以展开项中系数最大为.【点睛】本题考查二项式定理，含参二项式的相关问题、二项展开式中系数最值问题，涉及等差中项的应用，属
18、于中档题.19.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57.0若由资料知，对成线性相关关系，试求：（1）.请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（2）.估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考公式：，参考数据：）【答案】（1）；（2）12.38【解析】试题分析：先把数据列表，由题中所给的数据求出，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，从而得到线性回归方程；由取，计算出对应的的值，即使估计使用年限为年时，维修费的估计值解析：(1)先把数据列表如下.i12345xi23456
19、20yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690由表知，4，5，由公式可得：1.23，51.2340.08，回归方程为1.23x0.08.(2)由回归方程1.23x0.08知，当x10时，1.23100.0812.38(万元)故估计使用年限为10年时维修费用是12.38万元点睛：本题考查了求线性回归方程及其实际应用，根据已知条件结合最小二乘法做出线性回归方程的系数，再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，从而求出结果，然后再次代入数据计算出维修费用，本题较为基础20.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1
20、）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结，等边中，则，平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2)在底面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，
21、据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）
22、设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴
23、对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，
24、从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.22.已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求函数的三次导数，利用导数依次判断函数的极值点；（2）根据（1）所判断的函数的单调性和零点存在性定理，判断零点个数.【详解】（1），使使 ，时， 即时，单调递增，时，单调递减，又因为，且存在唯一，使得，所以，；，；，即是的极小值点，是的极大值点，所以在上有唯一的极大、极小值点（2）由第一问可知： ，因为，故上无零点，又因为，故上有一个零点，故上不可能有零点综上所述得证.【点睛】本题考查利用导数证明函数极值点个数，以及函数零点个数，重点考查逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第一问需求三次导数，需要很严谨的逻辑判断能力.