1、圆锥曲线的综合问题 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 定点与定 值问题 了解圆锥曲线的简单应用;掌握解析几何中求解定点、定值问题的方法和步骤 2019 课标全国,21,12分 直线过定点 直线与抛物线的位置关系;圆的方程 参变量的 取值范围 和最值 问题 了解参变量的意义;理解解析几何中求解范围和最值问题的基本方法;理解函数思想和方程思想在圆锥曲线中的应用 2018 浙江,21,15 分 三角形的面积的取值范围 椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系 2019 课标全国,20,12分 求椭圆的离心率及求参数的取值范围 椭圆的定义
2、存在性 问题 理解圆锥曲线中存在性问题的基本解法;理解转化思想在圆锥曲线中的应用 2016 课标全国,20,12分 存在性问题 直线与抛物线的位置关系 分析解读 从近几年的高考试题来看,直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合考查主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判断及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索性问题以及圆锥曲线间的联系等,同时考查学生分析问题及解决综合问题的能力,分值较高,难度较大.客观题以圆锥曲线间的联系为主,凸显知识的连贯性和综合性,着重考查函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.在求解圆锥曲线综合问题时,需要较强的代数运算能力、图形认知能力、逻辑思维能力、数形之间的转化能
3、力,在推理过程中要保持思维的逻辑性,确保结果正确完整.破考点 练考向【考点集训】考点一 轨迹与轨迹方程 (2020 届江西南昌开学摸底,20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 Q(-1,2),F(1,0),动点 P 满足|=|.(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;(2)过点 F 的直线与轨迹 E 交于 A,B 两点,记直线 QA,QB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1+k2为定值.答案(1)设 P(x,y),则=(-1-x,2-y),=(1,0),=(1-x,-y),由|=|得|-1-x|=(1-)2+(-y)2,化简得 y2=4x,即动点 P 的轨迹 E 的方程为 y2=4x.(5
4、分)(2)证明:设过点 F(1,0)的直线的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由=+1,2=4x得 y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4,(7 分)k1+k2=1-21+1+2-22+1,x1=my1+1,x2=my2+1,k1+k2=1-21+2+2-22+2=(1-2)(m2+2)+(2-2)(m1+2)(1+2)(m2+2)=212+(2-2m)(1+2)-8212+2m(1+2)+4,(10 分)将 y1+y2=4m,y1y2=-4 代入上式得 k1+k2=-82-842+4=-2,故 k1+k2为定值-2.(12 分)考点二 定点与定值问题
5、1.(2019 云南昆明摸底,11)设点 M 为抛物线 C:y2=4x 的准线上一点(不同于准线与 x 轴的交点),过抛物线 C 的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 A,B 两点,设 MA,MF,MB 的斜率分别为 k1,k2,k3,则1+32 的值为()A.2 B.22 C.4 D.42 答案 A 2.(2019 广东二模,20)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:x2=6y 与直线 l:y=kx+3 交于 M,N 两点.(1)设 M,N 到 y 轴的距离分别为 d1,d2,证明:d1和 d2的乘积为定值;(2)y 轴上是否存在点 P,当 k 变化时,总有OPM=OPN?若
6、存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.答案(1)证明:将 y=kx+3 代入 x2=6y,得 x2-6kx-18=0.(1 分)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1x2=-18,(2 分)从而 d1d2=|x1|x2|=|x1x2|=18,为定值.(4 分)(2)存在符合题意的点 P.(5 分)设 P(0,b)为符合题意的点,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,从而 k1+k2=1-b1+2-b2=212+(3-b)(1+2)12=-36+6(3-)12=-6(+3)12.(9 分)因为当 k 变化时,总有OPM=OPN,所以 k1+k2=0,所以 b=-3,(11
7、 分)所以存在点 P(0,-3)符合题意.(12 分)考点三 参变量的取值范围和最值问题 答案 B 考点四 存在性问题 (2019 四川凉山州二诊,20)椭圆长轴右端点为 A,上顶点为 M,O 为椭圆的中心,F 为椭圆的右焦点,且 =2-1,离心率为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在直线 l,使直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,且点 F 恰好为PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.答案(1)设椭圆的方程为22+22=1(ab0),半焦距为 c.则 A(a,0),M(0,b),F(c,0),=(c,-b),=(a-c,0).由 =2-1 得 ac-c2=2
8、-1,又=22,a2=b2+c2,a2=2,b2=1,椭圆的标准方程为22+y2=1.(2)存在.F 为PQM 的垂心,MFPQ,又 M(0,1),F(1,0),kMF=-1,kPQ=1.设直线 PQ:y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2).将 y=x+m 代入22+y2=1,得 3x2+4mx+2m2-2=0.则 x1+x2=-43,x1x2=22-23.=(4m)2-12(2m2-2)0,解得-3m0)有共同的焦点 F,O 为坐标原点,点 P在 x 轴上方且在双曲线上,则 的最小值为()A.3-23 B.23-3 C.-74 D.34 答案 A 2.(2020 届广西桂林十八中期中
9、,20)已知椭圆 D:22+22=1(ab0)的离心率 e=22,点(2,-1)在椭圆 D 上.(1)求椭圆 D 的标准方程;(2)过 y 轴上一点 E(0,t)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 D 交于 A,B 两点,设直线 OA,OB(O 为坐标原点)的斜率分别为 kOA,kOB,若对任意实数 k,存在 2,4,使得 kOA+kOB=k,求实数 t 的取值范围.答案(1)椭圆 D 的离心率 e=2-2=22,a=2b,(2 分)又点(2,-1)在椭圆 D 上,22+12=1,联立=2b,22+12=1,得2=4,2=2,(4 分)椭圆 D 的标准方程为24+22=1.(5 分)(2)由题意
10、得,直线 l 的方程为 y=kx+t,(6 分)由24+22=1,=+,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0,(7 分)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-422+1,x1x2=22-422+1,(8 分)kOA+kOB=11+22=1+t1+2+t2=2k+(1+2)12=2k+t-422+122+122-4=-42-2,由 kOA+kOB=k,kR,得-42-2=,即 t2=2-4,(10 分)又 2,4,t20,1,t-1,1.(12 分)方法 4 圆锥曲线中的存在性问题的求解方法 (201953 原创冲刺卷三,20)已知定点 F(0,2)和定直线 l:y
11、=-3,动圆 M 在直线 l 的上方,其半径 r=|MF|,且圆M 上的点到直线 l 的距离的最小值等于 1.(1)求圆心 M 的轨迹 C 的方程;(2)已知直线 AB 交曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于点 G,交 y 轴正半轴于点 H,是否存在直线 AB,使得 A,B 两点纵坐标之积为 4,且1|+1|-3|=0?若存在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.答案(1)由题意可知,动点 M 到定点 F(0,2)的距离等于到定直线 l:y=-2 的距离,根据抛物线的定义可知,点 M的轨迹 C 是以 F 为焦点的抛物线,故圆心 M 的轨迹 C 的方程为 x2=8y.(4 分)(2
12、)存在.假设存在符合条件的直线 AB,由已知可知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2).由=+,2=8y得 x2-8kx-8b=0,所以642+32b 0,1+2=8k,12=-8b,(6 分)所以 y1y2=128 228=b2.由 y1y2=4,得 b2=4,又 b0,所以 b=2.(8 分)由1|+1|-3|=0,得|+|=3,作 AAx 轴,BBx 轴,垂足分别为 A,B,则|+|=|+|=21+22=2(1+2)12=3,(10 分)因为 y1y2=4,y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4,所以 8k2+4
13、=6,所以 k=12.故存在符合条件的直线 AB,其方程为 y=12x+2 或 y=-12x+2.(12 分)【五年高考】A 组 统一命题课标卷题组 1.(2019 课标全国,21,12 分)已知曲线 C:y=22,D 为直线 y=-12上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B.(1)证明:直线 AB 过定点;(2)若以 E(0,52)为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求该圆的方程.答案 本题将直线、抛物线、圆的相关内容有机结合,考查三者之间的位置关系,考查学生分析问题与解决问题的能力,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)证明:设 D(,-12),A
14、(x1,y1),则12=2y1.由于 y=x,所以切线 DA 的斜率为 x1,故1+121-t=x1.整理得 2tx1-2y1+1=0.设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0.故直线 AB 的方程为 2tx-2y+1=0.所以直线 AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线 AB 的方程为 y=tx+12.由=+12,=22可得 x2-2tx-1=0.于是 x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设 M 为线段 AB 的中点,则 M(,2+12).由于 ,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以 t+(t2-2)t=0.解得 t=0 或 t
15、=1.当 t=0 时,|=2,所求圆的方程为 x2+(-52)2=4;当 t=1 时,|=2,所求圆的方程为 x2+(-52)2=2.2.(2016 课标全国,20,12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|;(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.答案(1)由已知得 M(0,t),P(22,t).(1 分)又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N(2,t),ON 的方程为 y=x,代入 y2=2px 整
16、理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2=22.因此 H(22,2t).(4 分)所以 N 为 OH 的中点,即|=2.(6 分)(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.(7 分)理由如下:直线 MH 的方程为 y-t=2x,即 x=2(y-t).(9 分)代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.(12 分)3.(2015 课标,20,12 分)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在 C 上.(1)求 C 的方程;(2)
17、直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.答案(1)由题意有=22,42+22=1,又 c2=a2-b2,所以 a2=8,b2=4.所以 C 的方程为28+24=1.(2)设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入28+24=1 得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故 xM=1+22=-222+1,yM=kxM+b=22+1.于是直线 OM 的斜率 kOM=-12,即 kOMk=-12.所以直线
18、OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.B 组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 定点与定值问题 1.(2016 北京,19,14 分)已知椭圆 C:22+22=1 过 A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆 C 的方程及离心率;(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:四边形 ABNM的面积为定值.答案(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为24+y2=1.(3 分)又 c=2-2=3,所以离心率 e=32.(5 分)(2)证明:设 P(x0,y0)(x00,y0b0)经过点 A(0,-
19、1),且离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.答案(1)由题设知=22,b=1,结合 a2=b2+c2,解得 a=2.所以椭圆 E 的方程为22+y2=1.(2)证明:由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k2),代入22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知可知 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则 x1+x2=4(-1)1+22,x1x2=2(-2)1+22.从而直线 A
20、P,AQ 的斜率之和 kAP+kAQ=1+11+2+12=1+2-k1+2+2-k2=2k+(2-k)(11+12)=2k+(2-k)1+212 =2k+(2-k)4(-1)2(-2)=2k-2(k-1)=2.考点二 参变量的取值范围和最值问题 1.(2018 浙江,17,4 分)已知点 P(0,1),椭圆24+y2=m(m1)上两点 A,B 满足=2,则当 m=时,点 B横坐标的绝对值最大.答案 5 2.(2018 浙江,21,15 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上.(1)设 AB
21、 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;(2)若 P 是半椭圆 x2+24=1(x0)上的动点,求PAB 面积的取值范围.答案(1)设 P(x0,y0),A(14 12,1),B(14 22,2).因为 PA,PB 的中点在抛物线上,所以 y1,y2为方程(+02)2=4142+02即 y2-2y0y+8x0-02=0 的两个不同的实根.所以 y1+y2=2y0,因此,PM 垂直于 y 轴.(2)由(1)可知1+2=20,12=80-02,所以|PM|=18(12+22)-x0=34 02-3x0,|y1-y2|=22(02-40).因此,PAB 的面积 SPAB=12|PM|y1-y2|=
22、324(02-4x0)32.因为02+024=1(x0b0)的长轴长为 4,焦距为 22.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过动点 M(0,m)(m0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.(i)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k,证明 为定值;(ii)求直线 AB 的斜率的最小值.答案(1)设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a=4,2c=22,所以 a=2,b=2-2=2.所以椭圆 C 的方程为24+22=1.(2)(i)证明:设 P(x0,y0)(x00
23、,y00).由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线 PM 的斜率 k=2-0=0,直线 QM 的斜率 k=-2-0=-30.此时=-3.所以 为定值-3.(ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2).直线 PA 的方程为 y=kx+m,直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.联立=+,24+22=1,整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由 x0 x1=22-422+1,可得 x1=2(2-2)(22+1)0.所以 y1=kx1+m=2(2-2)(22+1)0+m.同理 x2=2(2-2)(182+1)0,y2=-6(2-2)(182+1)0+m
24、.所以 x2-x1=2(2-2)(182+1)0-2(2-2)(22+1)0=-322(2-2)(182+1)(22+1)0,y2-y1=-6(2-2)(182+1)0+m-2(2-2)(22+1)0-m=-8(62+1)(2-2)(182+1)(22+1)0,所以 kAB=2-12-1=62+14=14(6+1).由 m0,x00,可知 k0,所以 6k+126,等号当且仅当 k=66 时取得.此时4-82=66,即 m=147,符合题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为62.考点三 存在性问题 (2015 四川,20,13 分)如图,椭圆 E:22+22=1(ab0)的离心率是22,点 P
25、(0,1)在短轴 CD 上,且 =-1.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存在常数,使得 +为定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.答案(1)由已知得,点 C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点 P 的坐标为(0,1),且 =-1,于是 1-2=-1,=22,2-2=2.解得 a=2,b=2.所以椭圆 E 的方程为24+22=1.(2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由24+22=1,=+1,得(2k2+1)x2+4kx-2
26、=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以,x1+x2=-422+1,x1x2=-222+1.从而,+=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=(-2-4)2+(-2-1)22+1=-122+1-2.所以,当=1 时,-122+1-2=-3.此时,+=-3,为定值.当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD.当=1 时,+=+=-2-1=-3.故存在常数=1,使得 +为定值-3.C 组 教师专用题组 考点一 定点与定值问题 (2014 江西,20,13 分)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,
27、2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点).(1)证明:动点 D 在定直线上;(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.答案(1)证明:依题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2=4(kx+2),即 x2-4kx-8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8,直线 AO 的方程为 y=11x,直线 BD 的方程为 x=x2.解得交点 D 的坐标
28、为(2,121),注意到 x1x2=-8 及12=4y1,则有 y=11212=-8141=-2.因此 D 点在定直线 y=-2 上(x0).(2)依题设知,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a0),代入 x2=4y 得 x2=4(ax+b),即 x2-4ax-4b=0,由=0 得(4a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2.故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2.分别令 y=2、y=-2 得 N1、N2的坐标为 N1(2+a,2)、N2(-2+a,-2),则|MN2|2-|MN1|2=(2-a)2+42-(2+a)2=8,即|MN2|2-|MN1|2为
29、定值 8.考点二 参变量的取值范围和最值问题 1.(2017 山东,21,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的离心率为22,椭圆 C 截直线y=1 所得线段的长度为 22.(1)求椭圆 C 的方程;(2)动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点,N 的半径为|NO|.设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与N 分别相切于点 E,F,求EDF 的最小值.答案(1)由椭圆的离心率为22,得 a2=2(a2-b2),又当 y=1 时,x2=a2-22,得 a2-22=2,所以 a2
30、=4,b2=2.因此椭圆方程为24+22=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程=+,2+22=4,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由 0 得 m20,从而 y=t+1在3,+)上单调递增,因此 t+1103,等号当且仅当 t=3 时成立,此时 k=0,所以|2|21+3=4,由(*)得-2mb0)的离心率为32,且点(3,12)在椭圆C 上.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设椭圆 E:242+242=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E于点 Q.(i)求|的值;(ii)求ABQ
31、 面积的最大值.答案(1)由题意知32+142=1,又2-2=32,解得 a2=4,b2=1.所以椭圆 C 的方程为24+y2=1.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为216+24=1.(i)设 P(x0,y0),|=,由题意知 Q(-x0,-y0).因为024+02=1,又(-0)216+(-0)24=1,即24(024+02)=1,所以=2,即|=2.(ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2).将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由 0,可得 m24+16k2.则有 x1+x2=-81+42,x1x2=42-161+42.所以|x1
32、-x2|=4162+4-21+42.因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m),所以OAB 的面积 S=12|m|x1-x2|=2162+4-2|m|1+42=2(162+4-2)21+42=2(4-21+42)21+42.设21+42=t.将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由 0,可得 m21+4k2.由可知 0t1,因此 S=2(4-)=2-2+4t.故 S23,当且仅当 t=1,即 m2=1+4k2时取得最大值 23.由(i)知,ABQ 面积为 3S,所以ABQ 面积的最大值为 63.3.(2014 北京,19,14
33、分)已知椭圆 C:x2+2y2=4.(1)求椭圆 C 的离心率;(2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB,求线段 AB 长度的最小值.答案(1)由题意,知椭圆 C 的标准方程为24+22=1.所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2.因此 a=2,c=2.故椭圆 C 的离心率 e=22.(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x00.因为 OAOB,所以 =0,即 tx0+2y0=0,解得 t=-200.又02+202=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=(0+200)2+(y0-2)2=02
34、+02+40202+4=02+4-022+2(4-02)02+4=022+802+4(0024).因为022+8024(014时,SOPQ=842+142-1=8(1+242-1)8;当 0k214时,SOPQ=842+11-42=8(-1+21-42).因 0k214,则 00,b10)和椭圆 C2:222+222=1(a2b20)均过点P(233,1),且以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形.(1)求 C1,C2的方程;(2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1交于 A,B 两点,与 C2只有一个公共点,且|+|=|?证明你的结论.答案(1)设 C2的焦
35、距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而 a1=1,c2=1.因为点 P(233,1)在双曲线 x2-212=1 上,所以(233)2-112=1,故12=3.由椭圆的定义知 2a2=(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2=23.于是 a2=3,22=22-22=2,故 C1,C2的方程分别为 x2-23=1,23+22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x=2或 x=-2.当 x=2时,易知 A(2,3),B(2,-3),所以|+|=22,|=23,此时,|+|.当 x=
36、-2时,同理可知,|+|.(ii)若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m,由=+,2-23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当 l 与 C1相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2是上述方程的两个实根,从而 x1+x2=23-2,x1x2=2+32-3.于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=32-322-3.由=+,23+22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线 l 与 C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得 2k2=m
37、2-3,因此 =x1x2+y1y2=2+32-3+32-322-3=-2-32-3 0,于是 2+2+2 2+2-2 ,即|+|2|-|2,故|+|.综合(i),(ii)可知,不存在符合题设条件的直线.【三年模拟】时间:60 分钟 分值:70 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.(2020 届云南昆明一中第二次月考,11)已知圆 M:(x+5)2+y2=36,定点 N(5,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在NP 上,点 G 在 MP 上,且满足=2,=0,则点 G 的轨迹方程为()A.29+24=1 B.236+231=1C.29-24=1 D.236-231=1 答案
38、 A 2.(2020 届云南昆明第一中学第四次月考,11)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆210+y2=1 上的动点,则 P,Q 两点间的最大距离是()A.52 B.46+2 C.7+2 D.62 答案 D 3.(2020 届河南中原名校联盟第三次测评,10)椭圆 C:22+22=1(ab0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若点 P 为椭圆 C 上的任意一点,且 P 在第一象限,O 为坐标原点,F(3,0)为椭圆 C 的右焦点,则 的取值范围为()A.(-16,-10)B.(-10,-394)C.(-16,-394 D.(-,-394 答案 C 4.(2020 届甘肃顶级
39、名校 10 月联考,12)已知椭圆 C1:212+212=1(a1b10)与双曲线 C2:222-222=1(a20,b20)有相同的焦点 F1,F2,若点 P 是 C1与 C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=2|PF2|,设 C1与 C2的离心率分别为 e1,e2,则 e2-e1的取值范围是()A.(12,+)B.(13,+)C.12,+)D.13,+)答案 A 5.(2019 四川绵阳二诊,12)已知椭圆 C:2+2-4=1(m4)的右焦点为 F,点 A(-2,2)为椭圆 C 内一点.若椭圆 C 上存在一点 P,使得|PA|+|PF|=8,则 m 的取值范围是()A.(6+25,25
40、B.9,25 C.(6+25,20 D.3,5 答案 A 6.(2019 安徽六安一中 4 月月考,12)已知点 P(-2,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线 y2=4x 交于不同的两点A、B,若 x 轴是APB 的平分线所在直线,则直线 l 一定过点()A.(-1,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(4,0)答案 C 二、填空题(共 5 分)7.(2020 届豫南九校第三次联考,16)已知椭圆 C:3x2+4y2=12,椭圆 C 上有不同的两点关于直线 l:y=4x+m 对称,则实数 m 的取值范围为 .答案(-21313,21313)三、解答题(共 35 分)8.(2020 届
41、陕西百校联盟 9 月联考,21)记抛物线 C:y2=-2x 的焦点为 F,点 M 在抛物线上,N(-3,1),斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点.(1)求|MN|+|MF|的最小值;(2)若 M(-2,2),直线 MP,MQ 的斜率都存在,且 kMP+kMQ+2=0,探究直线 l 是否过定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.答案(1)设抛物线 C 的准线为 l,过点 M 作 MMl,垂足为 M,过点 N 作 NNl,垂足为 N,(1 分)则|MN|+|MF|=|MN|+|MM|NN|=72,故|MN|+|MF|的最小值为72.(4 分)(2)设直线 l 的方程为
42、 y=kx+b,P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 l 的方程与抛物线 C 的方程联立得=+,2=-2x,得 k2x2+(2kb+2)x+b2=0,(6 分)则 x1+x2=-2-22,x1x2=22,(7 分)又 kMP+kMQ=1-21+2+2-22+2=-2,即(kx1+b-2)(x2+2)+(kx2+b-2)(x1+2)=-2(x1+2)(x2+2),2kx1x2+2k(x1+x2)+b(x1+x2)-2(x1+x2)+4b-8=-2x1x2-4(x1+x2)-8,将代入化简得,b2-b-2-2k(b+1)=0,即(b+1)(b-2-2k)=0,得 b=-1 或 b=2+2k.
43、(9 分)当 b=-1 时,直线 l 为 y=kx-1,此时直线恒过(0,-1);(10 分)当 b=2+2k 时,直线 l 为 y=kx+2k+2=k(x+2)+2,此时直线恒过 M(-2,2),不合题意,舍去.综上所述,直线 l 过定点(0,-1).(12 分)9.(2018 河北五校 12 月联考,20)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的离心率为22,右焦点为 F,上顶点为 A,且AOF的面积为12(O 是坐标原点).(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上的一点,过 P 的直线 l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切点为 M,证明:|PF|+|PM|为定值.答案(1)设椭圆的半焦距为 c,由已知得 22=12,12 bc=12,2+2=22=2,2=1,椭圆 C 的方程为22+y2=1.(2)证明:以短轴为直径的圆的方程为 x2+y2=1,F(1,0),设 P(x0,y0),则022+02=1(00,x1+x2=2423+42,|MN|=12-12(x1+x2)=12-1223+42=12-1232+4,k26或 k-26,k224,012124,912-1232+410011,即 9|MN|10011.综上可知,|MN|的取值范围是9,10011.